Primitives Terminale : 8 exercices corrigés

Une primitive se contrôle en la dérivant. Ces exercices font travailler ce contrôle, les formes composées et le rôle de la constante sur un intervalle.

La condition initiale apparaît après la recherche de toutes les primitives. Un exercice final distingue une formule valable sur un intervalle d’une affirmation sur un domaine déconnecté.

Vérifier avant de mémoriser

Exercice 1 : Une primitive proposée

Facile
Un élève propose F(x)=x2exF(x)=x^2e^x comme primitive de f(x)=x2exf(x)=x^2e^x sur R\mathbb R.
  1. Calculer F’ et décider si la proposition est correcte.
  2. De quelle fonction F est-elle effectivement une primitive ?
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  1. F′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)exF'(x)=2xe^x+x^2e^x=(x^2+2x)e^x, qui n’est pas identique à f. La proposition est fausse.
  2. F est une primitive de x↦(x2+2x)exx\mapsto(x^2+2x)e^x sur R\mathbb R.

Exercice 2 : Fixer une constante

Facile
On cherche une primitive F de 3x2−4x+53x^2-4x+5 sur R\mathbb R, telle que F(1)=7F(1)=7.
  1. Écrire toutes les primitives.
  2. Déterminer celle qui satisfait la condition.
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  1. Les primitives sont F(x)=x3−2x2+5x+CF(x)=x^3-2x^2+5x+C, avec C∈RC\in\mathbb R.
  2. F(1)=4+C=7F(1)=4+C=7, donc C=3C=3. La primitive cherchée est x3−2x2+5x+3x^3-2x^2+5x+3.

Reconnaître une fonction composée

Exercice 3 : Quotient toujours défini

Moyen
Soit f(x)=2x/(x2+1)f(x)=2x/(x^2+1) sur R\mathbb R.
  1. Reconnaître une expression de la forme u’/u.
  2. Donner toutes les primitives et vérifier par dérivation.
Indication
Le numérateur est-il lié à la dérivée du dénominateur ?
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  1. Avec u(x)=x2+1>0u(x)=x^2+1\gt 0, on a u′(x)=2xu'(x)=2x, donc f=u′/uf=u'/u.
  2. Les primitives sont ln⁡(x2+1)+C\ln(x^2+1)+C. Leur dérivée vaut bien 2x/(x2+1)2x/(x^2+1).

Exercice 4 : Fréquence et facteur

Moyen
On considère f(x)=sin⁡(3x)f(x)=\sin(3x) sur R\mathbb R.
  1. Donner toutes les primitives.
  2. Déterminer F telle que F(0)=0.
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  1. Comme (cos⁡(3x))′=−3sin⁡(3x)(\cos(3x))'=-3\sin(3x), les primitives sont F(x)=−cos⁡(3x)/3+CF(x)=-\cos(3x)/3+C.
  2. F(0)=−1/3+C=0F(0)=-1/3+C=0, donc F(x)=(1−cos⁡(3x))/3F(x)=(1-\cos(3x))/3.

Le rôle de l’intervalle

Exercice 5 : Deux constantes possibles

Difficile
La fonction f(x)=1/xf(x)=1/x est définie sur R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}.
  1. Donner les primitives sur chacun des deux intervalles du domaine.
  2. Deux primitives sur tout ce domaine diffèrent-elles nécessairement d’une même constante ? Justifier par un exemple.
Indication
Le théorème sur la différence de deux primitives suppose un intervalle.
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  1. Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, on a ln⁡x+C+\ln x+C_+. Sur ]−∞,0[]-\infty,0[, on a ln⁡(−x)+C−\ln(-x)+C_-, car sa dérivée vaut 1/x1/x. On peut écrire ln⁡∣x∣\ln|x| sur les deux composantes.
  2. Non. Prenons F(x)=ln⁡∣x∣F(x)=\ln|x| et G égale à F pour x positif, à F+1F+1 pour x négatif. Les deux fonctions ont pour dérivée 1/x1/x, mais G−FG-F vaut 0 ou 1 suivant la composante. Il n’existe pas de constante unique sur ce domaine déconnecté.

Composer, imposer et interpréter

Trois usages distincts de la constante et de la règle de chaîne.

Exercice 6 : Une puissance composée

Moyen
On considère f(x)=4x(x2+1)3f(x)=4x(x^2+1)^3 sur les réels.
  1. Identifier une fonction u et son facteur dérivé.
  2. Donner toutes les primitives de f.
  3. Vérifier le résultat par dérivation.
Indication
La dérivée de x2+1x^2+1 vaut 2x2x ; ajuster ensuite le coefficient.
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  1. On pose u=x2+1u=x^2+1, donc u′=2xu'=2x et f=2u′u3f=2u'u^3.
  2. Les primitives sont F(x)=(x2+1)4/2+CF(x)=(x^2+1)^4/2+C.
  3. F′(x)=12×4(x2+1)3×2x=4x(x2+1)3=f(x)F'(x)=\tfrac12\times4(x^2+1)^3\times2x=4x(x^2+1)^3=f(x).

Exercice 7 : Exponentielle et quotient

Moyen
Sur ]−1,+∞[]-1,+\infty[, on pose f(x)=e2x−3/(x+1)2f(x)=e^{2x}-3/(x+1)^2.
  1. Déterminer toutes les primitives de f.
  2. Trouver celle qui vérifie F(0)=0F(0)=0.
Indication
Contrôler le signe en dérivant 1/(x+1)1/(x+1).
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  1. Les primitives sont F(x)=e2x/2+3/(x+1)+CF(x)=e^{2x}/2+3/(x+1)+C, car la dérivée de 3/(x+1)3/(x+1) est −3/(x+1)2-3/(x+1)^2.
  2. F(0)=1/2+3+CF(0)=1/2+3+C. La condition impose C=−7/2C=-7/2, donc F(x)=e2x/2+3/(x+1)−7/2F(x)=e^{2x}/2+3/(x+1)-7/2.

Exercice 8 : Une tangente impose la constante

Difficile
On cherche une primitive F de f(x)=2x+1f(x)=2x+1 sur les réels. La tangente à la courbe de F au point d'abscisse 0 doit passer par B(2;5)B(2;5).
  1. Écrire la famille des primitives.
  2. Déterminer l'équation de la tangente en 0 en fonction de C.
  3. En déduire l'unique primitive répondant à la condition.
Indication
La pente de la tangente est F′(0)=f(0)F'(0)=f(0), mais son ordonnée à l'origine dépend de C.
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  1. Les primitives sont F(x)=x2+x+CF(x)=x^2+x+C.
  2. On a F(0)=CF(0)=C et F′(0)=1F'(0)=1. La tangente a donc pour équation y=x+Cy=x+C.
  3. Elle passe par B si 5=2+C5=2+C, donc C=3C=3. La primitive cherchée est F(x)=x2+x+3F(x)=x^2+x+3.
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