Raisonnement par récurrence Terminale : 8 exercices corrigés

Les exercices mettent l'accent sur la rédaction logique : entier de départ, propriété précise, initialisation, hypothèse au rang k et passage au rang suivant.

Certaines preuves demandent une transformation préparatoire ou le diagnostic d'un raisonnement incomplet. Le corrigé distingue ce que l'on suppose de ce que l'on démontre.

Installer les trois étapes

Des propriétés simples pour stabiliser la rédaction.

Exercice 1 : Somme des nombres impairs

Facile
Pour n≥1n\geq1, on pose Sn=1+3+5+⋯+(2n−1)S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1).
  1. Calculer S1S_1, S2S_2 et S3S_3.
  2. Démontrer par récurrence que Sn=n2S_n=n^2 pour tout n≥1n\geq1.
Voir le corrigé
  1. S1=1S_1=1, S2=4S_2=4 et S3=9S_3=9.
  2. La propriété est vraie au rang 1. Supposons Sk=k2S_k=k^2. Alors Sk+1=Sk+2k+1=k2+2k+1=(k+1)2S_{k+1}=S_k+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2. Elle est héréditaire, donc vraie pour tout n≥1n\geq1.

Exercice 2 : Une divisibilité

Facile
On considère la propriété PnP_n : « 8n−18^n-1 est divisible par 7 » pour n≥0n\geq0.
  1. Vérifier l'initialisation.
  2. Établir l'hérédité.
  3. Conclure.
Indication
Comparer les expressions aux rangs k et k+1.
Voir le corrigé
  1. Pour n=0n=0, 80−1=08^0-1=0, divisible par 7.
  2. Supposons 8k−1=7q8^k-1=7q. Alors 8k+1−1=8(8k−1)+7=7(8q+1)8^{k+1}-1=8(8^k-1)+7=7(8q+1), donc la propriété est vraie au rang k+1.
  3. Par récurrence, 77 divise 8n−18^n-1 pour tout entier n≥0n\geq0.

Suites et inégalités

L'hypothèse doit être utilisée à un endroit visible du calcul.

Exercice 3 : Suite bornée

Moyen
La suite est définie par u0=1u_0=1 et un+1=2+unu_{n+1}=\sqrt{2+u_n}.
  1. Démontrer par récurrence que 1≤un≤21\leq u_n\leq2 pour tout n.
  2. Expliquer pourquoi la racine carrée préserve ici les inégalités.
Indication
Pour l'hérédité, encadrer 2+uk2+u_k entre deux carrés utiles.
Voir le corrigé
  1. Au rang 0, 1≤u0≤21\leq u_0\leq2. Si 1≤uk≤21\leq u_k\leq2, alors 3≤2+uk≤43\leq2+u_k\leq4, donc 3≤uk+1≤2\sqrt3\leq u_{k+1}\leq2. En particulier 1≤uk+1≤21\leq u_{k+1}\leq2. La propriété est vraie pour tout n.
  2. La fonction racine carrée est croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[, et les trois nombres comparés sont positifs.

Exercice 4 : Inégalité exponentielle

Moyen
On veut prouver que 2n≥n+12^n\geq n+1 pour tout entier n≥0n\geq0.
  1. Rédiger une preuve par récurrence.
  2. Déterminer les rangs où l'égalité a lieu.
Indication
Au passage de k à k+1, comparer 2(k+1)2(k+1) à k+2k+2.
Voir le corrigé
  1. Pour n=0, 1=11=1. Supposons 2k≥k+12^k\geq k+1. Alors 2k+1≥2k+2≥k+22^{k+1}\geq2k+2\geq k+2, car k≥0k\geq0. La propriété est donc vraie pour tout n.
  2. L'égalité a lieu pour n=0 et n=1. Pour n≥2n\geq2, l'inégalité devient stricte lors de l'hérédité.

Formule explicite et contrôle logique

Une conjecture se vérifie, tandis qu'une preuve incomplète se répare.

Exercice 5 : Conjecturer puis prouver

Moyen
La suite vérifie u0=2u_0=2 et un+1=3un+2u_{n+1}=3u_n+2.
  1. Calculer les quatre premiers termes.
  2. Conjecturer une expression de unu_n.
  3. Démontrer cette formule par récurrence.
Indication
Étudier un+1u_n+1.
Voir le corrigé
  1. u0=2u_0=2, u1=8u_1=8, u2=26u_2=26, u3=80u_3=80.
  2. On reconnaît un=3n+1−1u_n=3^{n+1}-1.
  3. La formule donne bien u0=3−1=2u_0=3-1=2. Si uk=3k+1−1u_k=3^{k+1}-1, alors uk+1=3(3k+1−1)+2=3k+2−1u_{k+1}=3(3^{k+1}-1)+2=3^{k+2}-1. Elle est donc vraie pour tout n.

Exercice 6 : Une hérédité qui ne démarre pas au bon rang

Difficile
Un élève veut établir 3n≥n23^n\geq n^2 pour tout entier n≥1n\geq1. Il écrit : « Supposons 3n≥n23^n\geq n^2. Alors 3n+1≥3n2≥(n+1)23^{n+1}\geq3n^2\geq(n+1)^2. La propriété est donc démontrée. »
  1. Tester la seconde inégalité au premier rang et identifier ce qui manque à la preuve.
  2. Justifier 3k2≥(k+1)23k^2\geq(k+1)^2 pour tout entier k≥2k\geq2.
  3. Réparer la démonstration en distinguant les rangs nécessaires.
Indication
Une propriété peut être vraie alors que l'argument proposé pour la transmettre échoue.
Voir le corrigé
  1. Au rang 1, la comparaison intermédiaire serait 3≥43\geq4, fausse. L'initialisation manque aussi. Employer n plutôt que k n'est pas une faute en soi ; il faut préciser que cet entier est arbitraire dans le domaine où l'implication est démontrée.
  2. Pour k≥2k\geq2, 3k2−(k+1)2=2k(k−1)−1≥3>03k^2-(k+1)^2=2k(k-1)-1\geq3\gt 0. La comparaison est donc justifiée à partir de 2.
  3. Au rang 1, 3≥13\geq1. Initialisons ensuite la récurrence à 2 : 9≥49\geq4. Fixons k≥2k\geq2 et supposons 3k≥k23^k\geq k^2. Alors 3k+1=3⋅3k≥3k2≥(k+1)23^{k+1}=3\cdot3^k\geq3k^2\geq(k+1)^2. Par récurrence, l'inégalité vaut pour tout n≥2n\geq2 ; le cas n=1n=1 a été vérifié séparément, ce qui établit tout l'énoncé.

Somme géométrique et récurrence à deux rangs

Deux structures qui obligent à adapter l'hérédité au lieu de reproduire une rédaction figée.

Exercice 7 : Somme des puissances de 3

Moyen
Pour n≥0n\geq0, on pose Sn=1+3+32+⋯+3nS_n=1+3+3^2+\cdots+3^n.
  1. Vérifier la formule Sn=(3n+1−1)/2S_n=(3^{n+1}-1)/2 au rang 0.
  2. Démontrer cette formule par récurrence.
  3. Calculer S5S_5 avec la formule obtenue.
Indication
Au rang suivant, la somme reçoit un seul terme supplémentaire : 3k+13^{k+1}.
Voir le corrigé
  1. Pour n=0n=0, S0=1S_0=1 et (31−1)/2=1(3^1-1)/2=1.
  2. Supposons Sk=(3k+1−1)/2S_k=(3^{k+1}-1)/2. Alors Sk+1=Sk+3k+1=(3k+1−1+2×3k+1)/2=(3k+2−1)/2S_{k+1}=S_k+3^{k+1}=(3^{k+1}-1+2\times3^{k+1})/2=(3^{k+2}-1)/2. La formule est donc vraie pour tout n≥0n\geq0.
  3. S5=(36−1)/2=(729−1)/2=364S_5=(3^6-1)/2=(729-1)/2=364.

Exercice 8 : Une récurrence à deux initialisations

Difficile
La suite est définie par u0=0u_0=0, u1=1u_1=1 et un+2=3un+1−2unu_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n pour n≥0n\geq0.
  1. Calculer u2u_2 et u3u_3, puis conjecturer une formule.
  2. Expliquer pourquoi deux rangs initiaux doivent être vérifiés.
  3. Démontrer la formule conjecturée par une récurrence utilisant deux rangs consécutifs.
Indication
Pour l'hérédité, supposer la formule vraie aux rangs k et k+1 afin de calculer le rang k+2.
Voir le corrigé
  1. On obtient u2=3u_2=3 et u3=7u_3=7, ce qui suggère un=2n−1u_n=2^n-1.
  2. La relation au rang suivant utilise deux termes antérieurs. Pour amorcer la chaîne, il faut donc contrôler la formule aux rangs 0 et 1 : elle donne bien 0 et 1.
  3. Supposons uk=2k−1u_k=2^k-1 et uk+1=2k+1−1u_{k+1}=2^{k+1}-1. Alors uk+2=3(2k+1−1)−2(2k−1)=2k+2−1u_{k+2}=3(2^{k+1}-1)-2(2^k-1)=2^{k+2}-1. Avec les deux initialisations, la formule vaut pour tout n.
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