Orthogonalité et distances dans l’espace Terminale : 8 exercices corrigés

Dans tous les exercices de cette page, les coordonnées sont données dans un repère orthonormé. Les exercices relient produit scalaire, vecteur normal et projection orthogonale. Les formules de distance ne sont utilisées qu'après identification géométrique des objets.

Chaque résultat est contrôlé par un signe, une norme ou une appartenance au plan, afin d'éviter les confusions entre orthogonalité de vecteurs et perpendicularité de droites ou de plans.

Produit scalaire et angles

Calculer, puis interpréter le résultat géométriquement.

Exercice 1 : Angle entre deux vecteurs

Facile
On considère u=(1;2;2)u=(1;2;2) et v=(2;1;−2)v=(2;1;-2).
  1. Calculer u⋅vu\cdot v et les normes de u et v.
  2. Déterminer une mesure de l'angle formé par u et v, arrondie au degré.
Voir le corrigé
  1. u⋅v=2+2−4=0u\cdot v=2+2-4=0, et ∥u∥=∥v∥=3\|u\|=\|v\|=3.
  2. Le cosinus vaut 0, donc l'angle mesure 90∘90^\circ. Les vecteurs sont orthogonaux.

Exercice 2 : Triangle dans l’espace

Moyen
Dans un repère orthonormé, A(1;0;1)A(1;0;1), B(3;1;0)B(3;1;0), C(0;2;2)C(0;2;2).
  1. Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
  2. Le triangle ABC est-il rectangle en A ?
  3. Calculer son aire.
Indication
Relier l'angle en A au produit scalaire, puis utiliser la formule d'aire avec son sinus.
Voir le corrigé
  1. AB→=(2;1;−1)\overrightarrow{AB}=(2;1;-1), AC→=(−1;2;1)\overrightarrow{AC}=(-1;2;1), donc leur produit scalaire vaut −2+2−1=−1-2+2-1=-1.
  2. Le produit scalaire n'est pas nul, donc le triangle n'est pas rectangle en A.
  3. Les deux vecteurs ont pour norme 6\sqrt6. Pour l'angle θ=BAC^\theta=\widehat{BAC}, cos⁡θ=−1/6\cos\theta=-1/6, donc sin⁡θ=35/6\sin\theta=\sqrt{35}/6, car 0<θ<π0\lt \theta\lt \pi. L'aire vaut 12AB ACsin⁡θ=35/2\tfrac12 AB\,AC\sin\theta=\sqrt{35}/2.

Plans, normales et projections

Contrôler à la fois la direction normale et l'appartenance au plan.

Exercice 3 : Équation d’un plan

Facile
Le plan P passe par A(1;−2;0)A(1;-2;0) et admet n=(2;−1;3)n=(2;-1;3) comme vecteur normal.
  1. Déterminer une équation cartésienne de P.
  2. Dire si B(2;0;1)B(2;0;1) appartient à P.
Voir le corrigé
  1. En utilisant A, 2(1)−(−2)+d=02(1)-(-2)+d=0, donc d=−4d=-4. Une équation est 2x−y+3z−4=02x-y+3z-4=0.
  2. Pour B, 2(2)−0+3(1)−4=3≠02(2)-0+3(1)-4=3\neq0. Ainsi B n'appartient pas à P.

Exercice 4 : Projeté orthogonal

Moyen
On considère le plan P d'équation x+2y+2z−9=0x+2y+2z-9=0 et le point A(2;1;0)A(2;1;0).
  1. Donner un vecteur directeur de la droite passant par A et perpendiculaire à P.
  2. Déterminer le projeté orthogonal H de A sur P.
  3. Calculer la distance de A à P.
Indication
Écrire H=A+t(1;2;2)H=A+t(1;2;2), puis imposer l'équation du plan.
Voir le corrigé
  1. Le vecteur normal n=(1;2;2)n=(1;2;2) dirige la perpendiculaire.
  2. H=(2+t;1+2t;2t)H=(2+t;1+2t;2t). Dans P : 2+t+2+4t+4t−9=02+t+2+4t+4t-9=0, soit 9t−5=09t-5=0. Donc t=5/9t=5/9 et H=(23/9;19/9;10/9)H=(23/9;19/9;10/9).
  3. AH=∣t∣∥n∥=(5/9)×3=5/3AH=|t|\|n\|=(5/9)\times3=5/3.

Distances et démonstrations

Mettre en place une preuve avant de calculer une longueur.

Exercice 5 : Distance entre deux plans parallèles

Moyen
Les plans P et Q ont pour équations 2x−y+2z−3=02x-y+2z-3=0 et 4x−2y+4z+6=04x-2y+4z+6=0.
  1. Montrer que P et Q sont parallèles et distincts.
  2. Calculer leur distance.
Indication
Ramener les deux équations au même vecteur normal.
Voir le corrigé
  1. En divisant l'équation de Q par 2, on obtient 2x−y+2z+3=02x-y+2z+3=0. Les plans ont le même vecteur normal (2;−1;2)(2;-1;2), mais des constantes différentes. Ils sont donc parallèles et distincts.
  2. La distance vaut ∣3−(−3)∣22+(−1)2+22=63=2\dfrac{|3-(-3)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{6}{3}=2.

Exercice 6 : Droite sécante et distance minimale

Difficile
La droite d passe par A(1;0;0)A(1;0;0) et a pour directeur u=(1;1;0)u=(1;1;0). Le plan P a pour équation x+y−z−2=0x+y-z-2=0.
  1. La droite d est-elle perpendiculaire à P ?
  2. Déterminer son point d'intersection avec P.
  3. Calculer la distance de A à P et comparer avec la distance entre A et le point d'intersection.
Indication
Une droite est perpendiculaire à un plan si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.
Voir le corrigé
  1. Un vecteur normal à P est n=(1;1;−1)n=(1;1;-1). Le vecteur u n'est pas colinéaire à n, donc d n'est pas perpendiculaire à P.
  2. Un point de d est (1+t;t;0)(1+t;t;0). Dans P : 1+t+t−2=01+t+t-2=0, donc t=1/2t=1/2. L'intersection est I(3/2;1/2;0)I(3/2;1/2;0).
  3. d(A,P)=∣1−2∣3=1/3d(A,P)=\dfrac{|1-2|}{\sqrt3}=1/\sqrt3. En revanche AI=∣1/2∣2=1/2AI=|1/2|\sqrt2=1/\sqrt2. Comme d n'est pas perpendiculaire à P, le segment AI n'est pas la distance minimale.

Distances obtenues par projection

Construire le point qui réalise la distance avant de calculer sa longueur.

Exercice 7 : Distance d’un point à une droite

Moyen
Dans un repère orthonormé, la droite d passe par l'origine et a pour vecteur directeur u=(1;2;2)u=(1;2;2). On considère A(3;0;0)A(3;0;0).
  1. Écrire un point H de d sous la forme H=tuH=tu.
  2. Déterminer t pour que AH soit perpendiculaire à d.
  3. Calculer la distance de A à d.
Indication
La condition cherchée est AH→⋅u=0\overrightarrow{AH}\cdot u=0.
Voir le corrigé
  1. On a H(t;2t;2t)H(t;2t;2t).
  2. Le vecteur AH→=(t−3;2t;2t)\overrightarrow{AH}=(t-3;2t;2t). La condition donne t−3+4t+4t=0t-3+4t+4t=0, donc t=1/3t=1/3 et H(1/3;2/3;2/3)H(1/3;2/3;2/3).
  3. Alors AH2=(−8/3)2+(2/3)2+(2/3)2=8AH^2=(-8/3)^2+(2/3)^2+(2/3)^2=8. La distance vaut 222\sqrt2.

Exercice 8 : Symétrique par rapport à un plan

Difficile
Le plan P a pour équation x−y+2z−3=0x-y+2z-3=0, et A(2;1;3)A(2;1;3). Le point H est le projeté orthogonal de A sur P.
  1. Écrire H sur la droite passant par A et dirigée par une normale à P.
  2. Calculer les coordonnées de H.
  3. Déterminer le symétrique A' de A par rapport à P et contrôler que H est le milieu de [AA'].
Indication
Une normale est n=(1;−1;2)n=(1;-1;2). Imposer ensuite l'appartenance de H au plan.
Voir le corrigé
  1. On écrit H=A+tn=(2+t;1−t;3+2t)H=A+tn=(2+t;1-t;3+2t).
  2. Dans l'équation de P, 2+t−(1−t)+2(3+2t)−3=02+t-(1-t)+2(3+2t)-3=0, soit 4+6t=04+6t=0. Donc t=−2/3t=-2/3 et H(4/3;5/3;5/3)H(4/3;5/3;5/3).
  3. Comme H=(A+A′)/2H=(A+A')/2, on a A′=2H−A=(2/3;7/3;1/3)A'=2H-A=(2/3;7/3;1/3). Le milieu de A et A' est bien (4/3;5/3;5/3)(4/3;5/3;5/3).
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