Combinatoire et dénombrement Terminale : 8 exercices corrigés

Ces exercices entraînent à identifier l'objet que l'on compte avant de choisir une formule : liste ordonnée, sélection sans ordre, permutation ou décomposition en cas disjoints.

Les corrigés justifient chaque facteur et chaque coefficient binomial. Les situations vont du comptage direct à une preuve combinatoire, sans réduire le chapitre à un formulaire.

Choisir une stratégie de comptage

Commencer par décider si l'ordre et la répétition ont un rôle.

Exercice 1 : Codes sans répétition

Facile
Un code comporte deux lettres distinctes choisies parmi A, B, C, D, E, suivies de trois chiffres distincts, dont le premier ne peut pas être 0.
  1. Combien de codes peut-on former ?
  2. Combien commencent par A et se terminent par un chiffre pair ?
Indication
Compter successivement les choix. Pour la seconde question, séparer le cas où le dernier chiffre vaut 0.
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  1. Il y a 5×45\times4 choix pour les lettres, puis 99 choix pour le premier chiffre, 99 pour le deuxième et 88 pour le troisième. Donc 5×4×9×9×8=129605\times4\times9\times9\times8=12960 codes.
  2. La première lettre est imposée, puis la seconde a 44 choix. Si le dernier chiffre vaut 0, les deux premiers chiffres ont 9×89\times8 choix. S'il vaut 2, 4, 6 ou 8, on a 4×8×84\times8\times8 choix. Le total est 4(72+256)=13124(72+256)=1312.

Exercice 2 : Délégation de classe

Facile
Une classe compte 18 filles et 14 garçons. On choisit trois délégués sans attribuer de fonction.
  1. Calculer le nombre de délégations possibles.
  2. Calculer le nombre de délégations comprenant exactement deux filles.
  3. En déduire le nombre de délégations comprenant au moins un garçon.
Indication
Pour « au moins un garçon », le complément est plus court à compter.
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  1. Une délégation est une partie de 3 élèves parmi 32 : (323)=4960\binom{32}{3}=4960.
  2. On choisit 2 filles puis 1 garçon : (182)(141)=153×14=2142\binom{18}{2}\binom{14}{1}=153\times14=2142.
  3. On retire les délégations composées uniquement de filles : 4960−(183)=4960−816=41444960-\binom{18}{3}=4960-816=4144.

Permutations et coefficients binomiaux

Les répétitions et les choix de positions modifient le dénombrement.

Exercice 3 : Anagrammes d’ANANAS

Moyen
On forme des mots de six lettres en utilisant exactement les lettres du mot ANANAS.
  1. Combien d'anagrammes distinctes existe-t-il ?
  2. Combien commencent et finissent par A ?
  3. Combien ne contiennent pas deux A consécutifs ?
Indication
Pour la dernière question, placer d'abord N, N et S, puis insérer les trois A dans des intervalles distincts.
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  1. Les trois A et les deux N sont indiscernables : 6!3!2!=60\dfrac{6!}{3!2!}=60.
  2. Après avoir fixé deux A aux extrémités, il reste A, N, N, S à ordonner : 4!2!=12\dfrac{4!}{2!}=12.
  3. Les lettres N, N, S ont 3!/2!=33!/2!=3 ordres. Elles créent quatre emplacements autour d'elles. Choisir trois emplacements distincts pour les A donne (43)=4\binom{4}{3}=4. Il existe donc 3×4=123\times4=12 anagrammes convenables.

Exercice 4 : Identité de Pascal

Moyen
Pour deux entiers n≥1n\geq1 et 1≤k≤n1\leq k\leq n, on choisit une équipe de kk personnes parmi n+1n+1, dont une personne particulière nommée Léa.
  1. Compter les équipes qui contiennent Léa.
  2. Compter celles qui ne la contiennent pas.
  3. Établir ainsi l'identité de Pascal.
Indication
Scinder toutes les équipes en deux catégories disjointes selon la présence de Léa.
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  1. Si Léa appartient à l'équipe, il reste k−1k-1 personnes à choisir parmi nn, soit (nk−1)\binom{n}{k-1}.
  2. Sans Léa, les kk membres sont choisis parmi les nn autres, soit (nk)\binom{n}{k}.
  3. Les deux catégories sont disjointes et couvrent toutes les équipes. Ainsi (n+1k)=(nk−1)+(nk)\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}.

Contraintes sur les chemins et les podiums

Un modèle pertinent évite les listes incomplètes et les soustractions hasardeuses.

Exercice 5 : Chemins sur un quadrillage

Moyen
Pour aller de O(0,0)O(0,0) à A(7,5)A(7,5), on effectue uniquement des pas d'une unité vers la droite ou vers le haut.
  1. Combien existe-t-il de chemins de O à A ?
  2. Combien passent par B(3,2)B(3,2) ?
  3. Combien évitent B ?
Indication
Coder un chemin par la position de ses pas vers le haut.
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  1. Un chemin contient 12 pas, dont 5 vers le haut : (125)=792\binom{12}{5}=792.
  2. De O à B, il faut 5 pas dont 2 vers le haut : (52)=10\binom{5}{2}=10. De B à A, il faut 7 pas dont 3 vers le haut : (73)=35\binom{7}{3}=35. Il y a 10×35=35010\times35=350 chemins par B.
  3. Il reste 792−350=442792-350=442 chemins.

Exercice 6 : Podium sous contrainte

Difficile
Huit finalistes, dont Alice et Bilal, disputent une course. On suppose tous les classements possibles équiprobables et sans ex aequo.
  1. Combien de podiums ordonnés peut-on former ?
  2. Combien contiennent Alice ou Bilal, mais pas les deux ?
  3. Combien placent Alice devant Bilal lorsque les deux sont sur le podium ?
Indication
Pour la deuxième question, choisir lequel des deux est présent, sa place, puis les deux autres finalistes.
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  1. Le podium est une liste ordonnée de 3 personnes : 8×7×6=3368\times7\times6=336.
  2. On choisit Alice ou Bilal de 22 façons, sa place de 33 façons, puis un couple ordonné parmi les 6 autres finalistes : 6×56\times5. Le total vaut 2×3×6×5=1802\times3\times6\times5=180.
  3. Choisir la troisième personne donne 6 possibilités. Parmi les 3!=63!=6 ordres des trois personnes, la moitié place Alice devant Bilal. Il y en a donc 6×3=186\times3=18.

Répétitions, complément et double comptage

Deux modèles absents de la première série : les tirages avec répétition et la lecture d'une même collection de deux façons.

Exercice 7 : Exactement deux chiffres 7

Moyen
On forme une suite de quatre chiffres, de 0 à 9. Les répétitions et un zéro initial sont autorisés.
  1. Combien de suites peut-on former ?
  2. Combien contiennent exactement deux chiffres 7 ?
  3. Combien contiennent au moins un chiffre 7 ?
Indication
Pour « au moins un », compter d'abord les suites qui ne contiennent aucun 7.
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  1. Chaque position possède 10 choix, donc il existe 104=1000010^4=10000 suites.
  2. On choisit les deux positions des 7 de (42)=6\binom42=6 façons. Chacune des deux autres positions reçoit l'un des 9 chiffres différents de 7. Il y en a donc 6×92=4866\times9^2=486.
  3. Le complément contient 9 choix à chacune des quatre positions. Le nombre demandé est 104−94=10000−6561=343910^4-9^4=10000-6561=3439.

Exercice 8 : Choisir les présents ou les absents

Moyen
Parmi n élèves, on veut désigner un groupe de k élèves, avec 0≤k≤n0\leq k\leq n.
  1. Compter les groupes en choisissant directement leurs membres.
  2. Compter les mêmes groupes en choisissant les élèves qui restent hors du groupe.
  3. En déduire une identité entre deux coefficients binomiaux.
Indication
Un groupe est entièrement déterminé par son complémentaire dans la classe.
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  1. Le choix direct donne (nk)\binom nk groupes.
  2. Choisir les n−kn-k élèves absents détermine exactement le même groupe, soit (nn−k)\binom n{n-k} possibilités.
  3. Les deux dénombrements portent sur la même collection. Ainsi (nk)=(nn−k)\binom nk=\binom n{n-k}.
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