Équations différentielles Terminale : cours

Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction et l'équation relie cette fonction à ses dérivées. Les modèles de croissance, de refroidissement ou de charge électrique conduisent naturellement à des relations où la vitesse d'évolution dépend de l'état présent.

Le programme de Terminale se concentre sur des formes simples. Il faut savoir vérifier une solution proposée, déterminer toute la famille des solutions de y'=ay ou y'=ay+b, puis utiliser une condition initiale.

Table des Matières

Comprendre ce qui doit être résolu

Solution sur un intervalle

Une solution d'une équation différentielle sur un intervalle I est une fonction dérivable sur I qui vérifie l'égalité pour chaque réel de I.

Vérifier une solution exige deux calculs indépendants : dériver la fonction proposée, puis calculer le membre droit de l'équation. Les expressions doivent être égales pour tout x du domaine. Vérifier seulement une valeur ne démontre rien sur la fonction entière.

Résoudre y’=ay

Famille exponentielle

Pour un réel a, les solutions de $y'=ay$ sur $\mathbb R$ sont les fonctions $y(x)=Ce^{ax}$ , où C est une constante réelle.

y'=ay\quad\Longleftrightarrow\quad y(x)=Ce^{ax}

La dérivation confirme que $(Ce^{ax})'=aCe^{ax}$ . La famille comprend la fonction nulle lorsque $C=0$ . Une condition comme $y(0)=y_0$ donne directement $C=y_0$ , car $e^0=1$ .

Transformer y’=ay+b

Chercher une solution constante

Si $a\neq0$ , une solution constante $y=k$ doit vérifier $0=ak+b$ , donc $k=-b/a$ . On pose ensuite $z=y-k$ . La fonction z vérifie l'équation homogène $z'=az$ , d'où :

y(x)=Ce^{ax}-\frac ba

Cette méthode explique la formule au lieu de l'imposer. Pour $y'=ay+f$ , si une solution particulière g est donnée, toute solution s'écrit g plus une solution de l'équation homogène. Le programme ne demande pas une méthode générale pour trouver g dans tous les cas.

Déterminer la solution adaptée aux données

Identifier a et b et vérifier que l'équation est dans la forme attendue.
Écrire toute la famille des solutions.
Traduire la condition initiale en une équation sur C.
Résoudre pour C puis réécrire la fonction sans ambiguïté.
Vérifier l'équation et la condition initiale.

Pour $y'=2y-6$ et $y(0)=5$ , une solution constante vaut 3. La famille est $y=Ce^{2x}+3$ . La condition donne C+3=5, donc $y(x)=2e^{2x}+3$ . Dériver puis substituer confirme les deux exigences.

Interpréter un modèle d’évolution

Dans $y'=a(y-L)$ , la constante L représente un état d'équilibre. La solution s'écrit $y=L+Ce^{ax}$ . Si a est négatif, le terme exponentiel tend vers zéro et le modèle se rapproche de L ; s'il est positif, un écart initial non nul s'amplifie. Le signe, l'unité de a et l'intervalle de validité doivent être reliés au phénomène.

Évolution vers un état d'équilibre — Lorsque a est négatif, plusieurs solutions se rapprochent de la même valeur d'équilibre L.

Limites du modèle et contrôles

Erreur fréquente : appliquer la formule de y'=ay+b à une équation dont les coefficients dépendent de x ou qui contient y au carré. Ce sont d'autres familles d'équations.

Contrôle utile : après avoir trouvé C, vérifier séparément l'égalité différentielle et la donnée initiale ; une seule vérification ne remplace pas l'autre.

L'équation y'=f conduit à les primitives. Les solutions homogènes reposent sur la fonction exponentielle. Le comportement à long terme s'étudie avec les limites de fonctions.

Les formes résolues ici sont exactement celles retenues par le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.