Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction continue trace une courbe sans saut sur l'intervalle étudié. Cette intuition devient un outil d'existence : si les valeurs aux extrémités entourent un nombre, la fonction prend nécessairement cette valeur entre les deux.

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit une solution sans toujours permettre de la calculer exactement. La monotonie apporte l'unicité, puis la dichotomie fournit un encadrement numérique de précision choisie.

Table des Matières

Reconnaître les fonctions continues usuelles

Continuité en un point

Une fonction f est continue en a lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Elle est continue sur un intervalle lorsqu'elle est continue en chacun de ses points.

Les fonctions polynômes, exponentielle, sinus et cosinus sont continues sur les réels. Une fonction rationnelle est continue là où son dénominateur ne s'annule pas ; le logarithme est continu sur les réels strictement positifs. Les sommes, produits, quotients définis et compositions conservent la continuité.

Énoncer le théorème avec toutes ses hypothèses

Théorème des valeurs intermédiaires

Si f est continue sur $[a,b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un réel c de $[a,b]$ tel que $f(c)=k$ .

Pour résoudre $f(x)=0$ , on vérifie la continuité sur le segment et que 0 se trouve entre $f(a)$ et $f(b)$ , souvent grâce au produit $f(a)f(b)\leq0$ . Le théorème conclut à l'existence d'au moins une solution, pas à son unicité.

Passer de l’existence à l’unicité

Corollaire du TVI

Si f est continue et strictement monotone sur $[a,b]$ , alors chaque valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ possède un unique antécédent dans $[a,b]$ .

La rédaction sépare les rôles : la continuité et les valeurs aux bornes donnent l'existence ; la stricte monotonie donne au plus une solution. Réunies, elles établissent exactement une solution. Un tableau de variations correctement justifié peut rassembler ces informations, mais il ne dispense pas de citer le théorème.

Information	Ce qu'elle apporte
Continuité	pas de saut sur le segment
Valeurs aux bornes	la cible est traversée
Stricte monotonie	un seul passage possible
Dichotomie	encadrement numérique

Approcher une solution par dichotomie

Réduire l’intervalle de moitié

On part d'un intervalle $[a,b]$ où f est continue et change de signe. On calcule le milieu $m$ . Le signe de $f(m)$ permet de conserver la moitié dans laquelle le changement de signe subsiste. Après chaque étape, la longueur est divisée par deux ; après n étapes, elle vaut $(b-a)/2^n$ .

Calculer le milieu de l'intervalle courant.
Évaluer le signe de la fonction au milieu.
Conserver les deux bornes dont les images ont des signes opposés.
Arrêter lorsque la largeur est inférieure à la précision demandée.

Dichotomie autour d'une racine — Chaque test au milieu conserve un sous-intervalle contenant la solution.

Exemple de rédaction complète

Soit $f(x)=x^3+x-1$ sur [0,1]. La fonction est continue comme polynôme. On a $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ , donc 0 est compris entre ces valeurs : le TVI assure au moins une solution. De plus, $f'(x)=3x^2+1\gt 0$ , donc f est strictement croissante et la solution est unique. Pour l'encadrer, on calcule ensuite f aux milieux successifs sans arrondir prématurément.

Pièges de logique et vérification

Erreur fréquente : un changement de signe sans continuité ne garantit pas une racine. Une fonction avec saut peut passer d'une valeur négative à une valeur positive sans prendre zéro.

Contrôle utile : dans une preuve d'unicité, identifier explicitement la stricte monotonie. Le TVI seul n'empêche pas plusieurs intersections.

La définition locale prolonge les limites de fonctions. La monotonie nécessaire se démontre avec la dérivation et les variations. La recherche numérique est programmée dans les algorithmes de dichotomie.

Les capacités d'existence, d'unicité et d'approximation suivent le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.