Limites de suites Terminale : cours et méthodes

Étudier la limite d'une suite revient à décrire ses termes lorsque le rang devient arbitrairement grand. Une représentation numérique suggère parfois une valeur, mais elle ne montre pas que tous les termes futurs restent proches de cette valeur ni qu'une croissance se poursuit sans borne.

Le cours combine trois registres : la définition par des intervalles, les règles opératoires et les théorèmes de comparaison. La méthode choisie dépend de la forme de la suite ; chercher une limite n'est pas toujours calculer une expression directe.

Table des Matières

Donner un sens précis à la convergence

Converger vers un réel

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On écrit $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ .

Le rang à partir duquel les termes entrent dans l'intervalle dépend de la précision choisie. Quelques termes peuvent rester éloignés : la limite décrit la fin de la suite, pas son début. Une suite convergente possède une seule limite et elle est nécessairement bornée, mais une suite bornée peut osciller sans converger.

Reconnaître une divergence vers l’infini

Tendre vers plus l’infini

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si, pour tout réel A, tous les termes sont supérieurs à A à partir d'un certain rang.

Cette affirmation est plus forte que « les termes deviennent grands ». Une suite peut prendre des valeurs arbitrairement grandes tout en revenant régulièrement à zéro. La monotonie aide : une suite croissante non majorée tend vers plus l'infini. Le raisonnement symétrique vaut pour une suite décroissante non minorée.

Utiliser les limites usuelles et les opérations

Suite	Comportement
$n^p$ , $p\geq1$	$+\infty$
$1/n^p$ , $p\geq1$	0
$q^n$ , $\|q\|\lt 1$	0
$q^n$ , $q\gt 1$	$+\infty$
$q^n$ , $q\leq-1$	pas de limite finie

Les règles de somme, produit et quotient s'appliquent lorsque les limites permettent une conclusion. Les expressions $+\infty-\infty$ , $0\times\infty$ et $\infty/\infty$ sont indéterminées : elles décrivent une compétition et non un résultat. On factorise alors le terme dominant, on transforme l'expression ou on compare.

Comparer ou encadrer une suite

Théorèmes de comparaison

Si $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $u_n\to+\infty$ , alors $v_n\to+\infty$ . Si $u_n\leq v_n\leq w_n$ et si les suites extrêmes ont la même limite finie $\ell$ , alors $v_n\to\ell$ .

Le théorème des gendarmes est particulièrement efficace avec une valeur absolue : montrer $|u_n-\ell|\leq v_n$ avec $v_n\to0$ entraîne $u_n\to\ell$ . Il faut indiquer à partir de quel rang l'encadrement est valide et vérifier que les deux bornes convergent bien vers la même valeur.

Suite encadrée par deux suites convergentes — Les trois suites se resserrent autour de la même limite lorsque le rang augmente.

Convergence des suites monotones

Théorème admis

Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

Le théorème garantit l'existence d'une limite, mais ne donne pas sa valeur. Pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ , on établit souvent par récurrence qu'elle reste dans un intervalle, puis on prouve sa monotonie. Si l'on sait en plus que f est continue et que la suite converge vers $\ell$ , le passage à la limite conduit à $\ell=f(\ell)$ . Les solutions de cette équation sont seulement des candidates : l'encadrement sélectionne la bonne.

Existence de la limite avant son calcul

Pour $u_0=0$ et $u_{n+1}=(u_n+3)/2$ , on montre par récurrence que $0\leq u_n\leq3$ . En effet, l'application $x\mapsto(x+3)/2$ envoie [0,3] dans [0,3]. De plus, $u_{n+1}-u_n=(3-u_n)/2\geq0$ . La suite est donc croissante et majorée : elle converge. En passant à la limite dans la relation, $\ell=(\ell+3)/2$ , d'où $\ell=3$ . L'équation de point fixe n'a été utilisée qu'après justification de la convergence.

Chercher un seuil et valider la méthode

Premier rang satisfaisant une contrainte

Une boucle peut déterminer le plus petit rang n tel que $u_n\gt A$ ou $|u_n-\ell|\lt \varepsilon$ . Elle doit initialiser n et le terme correspondant de façon cohérente, puis mettre à jour les deux dans le bon ordre. Le résultat numérique illustre la définition de limite et répond à une question pratique, sans démontrer seul la convergence.

Erreur fréquente : remplacer une forme indéterminée par zéro ou par l'infini sans transformation. Les deux parties peuvent évoluer à des vitesses très différentes.

Contrôle utile : calculer quelques termes, étudier le signe de la différence et vérifier ensuite que le théorème choisi fournit bien la conclusion annoncée.

Les invariants et la monotonie utilisent souvent le raisonnement par récurrence. Les mêmes idées de comparaison se prolongent dans les limites de fonctions.

Les définitions intuitives et les capacités opératoires correspondent à le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.