Géométrie repérée Première : 6 exercices corrigés

Équations de droites et de cercles sont utilisées comme des descriptions d'ensembles de points. Les exercices croisent intersection, vecteur normal, centre, rayon et projection afin que chaque conclusion géométrique soit soutenue par un calcul identifiable.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Géométrie repérée. Les vecteurs normaux reposent sur le produit scalaire.

Bases de Géométrie repérée : Équation d'un cercle

Exercice 1 : Équation d’un cercle

Facile

Déterminer le centre et le rayon du cercle x2+y2−6x+4y−12=0x^2+y^2-6x+4y-12=0.

  1. Regrouper les termes en x et y.
  2. Compléter les carrés.
  3. Donner l'équation réduite.
Indication
Écrire x2−6x=(x−3)2−9x^2-6x=(x-3)^2-9.
Voir le corrigé
  1. On regroupe x2−6xx^2-6x et y2+4yy^2+4y.
  2. x2−6x=(x−3)2−9x^2-6x=(x-3)^2-9 et y2+4y=(y+2)2−4y^2+4y=(y+2)^2-4.
  3. L'équation devient (x−3)2+(y+2)2=25(x-3)^2+(y+2)^2=25. Le centre est (3;−2)(3;-2) et le rayon vaut 5.

Exercice 2 : Droite et cercle

Moyen

Le cercle CC a pour équation x2+y2=25x^2+y^2=25 et la droite dd : y=4y=4.

  1. Résoudre le système.
  2. Donner les points d'intersection.
  3. Calculer la distance du centre à dd.
  4. Expliquer pourquoi il y a deux points.
Indication
Substituer y=4y=4 dans l'équation du cercle.
Voir le corrigé
  1. En remplaçant yy par 4, x2+16=25x^2+16=25, donc x=±3x=\pm3.
  2. Les points d'intersection sont (−3;4)(-3;4) et (3;4)(3;4).
  3. Le centre est O et sa distance à y=4y=4 vaut 4.
  4. Comme 4<54\lt 5, la distance du centre à la droite est inférieure au rayon : la droite est sécante et coupe le cercle en deux points.

Choisir une méthode : Justifier l'équation d'une droite par orthogonalité

Exercice 3 : Justifier l’équation d’une droite par orthogonalité

Difficile

Une droite passe par A(xA;yA)A(x_A;y_A) et admet le vecteur normal n⃗=(a;b)\vec n=(a;b), avec n⃗≠0⃗\vec n\neq\vec0. Soit M(x;y)M(x;y).

  1. Traduire l'appartenance de MM à la droite par une orthogonalité.
  2. Calculer le produit scalaire correspondant.
  3. Donner une équation cartésienne de la droite.
Indication
Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} doit être orthogonal au vecteur normal.
Voir le corrigé
  1. On a M∈dM\in d si et seulement si AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0.
  2. Comme AM→=(x−xA;y−yA)\overrightarrow{AM}=(x-x_A;y-y_A), le produit scalaire vaut a(x−xA)+b(y−yA)a(x-x_A)+b(y-y_A).
  3. Une équation de la droite est donc a(x−xA)+b(y−yA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)=0, soit ax+by+c=0ax+by+c=0 après développement.

Exercice 4 : Projeté sur une droite

Difficile

La droite dd passe par A(1;2)A(1;2) et a pour vecteur directeur u=(2;1)u=(2;1). On considère M(5;1)M(5;1).

  1. Écrire les coordonnées d'un point HH de dd à l'aide d'un paramètre tt.
  2. Traduire MH⊥dMH\perp d par un produit scalaire nul.
  3. Déterminer HH.
  4. Calculer la distance de MM à dd.
Indication
Écrire H=(1+2t;2+t)H=(1+2t;2+t).
Voir le corrigé
  1. Un point de d s'écrit H(1+2t;2+t)H(1+2t;2+t).
  2. MH→=(−4+2t;1+t)\overrightarrow{MH}=(-4+2t;1+t). La condition MH⊥dMH\perp d donne 2(−4+2t)+(1+t)=02(-4+2t)+(1+t)=0.
  3. On obtient t=7/5t=7/5, puis H(19/5;17/5)H(19/5;17/5).
  4. MH→=(−6/5;12/5)\overrightarrow{MH}=(-6/5;12/5), donc MH=36+144/5=655MH=\sqrt{36+144}/5=\frac{6\sqrt5}{5}.

Approfondir Géométrie repérée : Décider d'une intersection par la distance

Exercice 5 : Retrouver centre et rayon d’un cercle développé

Moyen

On considère x2+y2−4x+6y−12=0x^2+y^2-4x+6y-12=0. On veut identifier le cercle.

  1. Compléter les carrés en x et en y.
  2. Mettre l'équation sous forme réduite.
  3. Lire les coordonnées du centre et le rayon.
  4. Vérifier qu'il s'agit d'un cercle réel non réduit.
Indication
Lire un vecteur normal à la droite donnée.
Voir le corrigé
  1. x2−4x=(x−2)2−4x^2-4x=(x-2)^2-4. y2+6y=(y+3)2−9y^2+6y=(y+3)^2-9.
  2. L'équation devient (x−2)2+(y+3)2=25(x-2)^2+(y+3)^2=25.
  3. Le centre est Ω(2;−3)\Omega(2;-3) et le rayon 5.
  4. La positivité du second membre confirme un cercle réel non réduit.

Exercice 6 : Décider d’une intersection par la distance

Difficile

Le cercle C\mathcal C a pour centre I(2;−1)I(2;-1) et pour rayon 3. On considère la droite d:2x−y+5=0d:2x-y+5=0.

  1. Calculer la distance de I à d.
  2. Comparer cette distance au rayon.
  3. Conclure sans résoudre de système.
Indication
Utiliser la formule de distance d'un point à une droite cartésienne.
Voir le corrigé
  1. d(I,d)=∣2×2−(−1)+5∣22+(−1)2=105=25d(I,d)=\frac{|2\times2-(-1)+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5.
  2. 25≈4,47>32\sqrt5\approx4{,}47\gt 3.
  3. La distance du centre à d dépasse le rayon : la droite est extérieure au cercle et il n'existe aucun point d'intersection.
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