Variations et optimisation Première : 7 exercices corrigés

Le signe de la dérivée commande les tableaux, mais les conclusions doivent revenir à la grandeur étudiée. Boîte, bénéfice, aire sous une parabole et comparaison à une tangente donnent plusieurs formes d'optimisation et de preuve d'inégalité.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Variations et optimisation. La présentation rigoureuse est reprise dans les tableaux de variations.

Bases de Variations et optimisation : Signe d'une dérivée factorisée

Exercice 1 : Signe d’une dérivée factorisée

Facile

On donne f′(x)=(x−2)(x+4)f'(x)=(x-2)(x+4).

  1. Dresser le tableau de signe de f'.
  2. Donner les intervalles de variation de f.
  3. Identifier la nature des extrema en -4 et 2.
Indication
Le produit change de signe à chaque racine simple.
Voir le corrigé
  1. Les zéros de f′f' sont −4-4 et 2. Son signe est positif sur ]−∞;−4[]-\infty;-4[, négatif sur ]−4;2[]-4;2[, puis positif sur ]2;+∞[]2;+\infty[.
  2. La fonction f croît sur ]−∞;−4]]-\infty;-4], décroît sur [−4;2][-4;2], puis croît sur [2;+∞[[2;+\infty[.
  3. Le signe passe de positif à négatif en −4-4 : f y admet un maximum local. Il passe de négatif à positif en 2 : f y admet un minimum local.

Exercice 2 : Étudier un polynôme

Moyen

Étudier les variations de f(x)=x3−3x2−9x+1f(x)=x^3-3x^2-9x+1.

  1. Calculer f'.
  2. Factoriser f'.
  3. Étudier son signe.
  4. Calculer les valeurs aux points critiques.
Indication
Chercher deux racines simples de la dérivée quadratique.
Voir le corrigé
  1. f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9.
  2. f′(x)=3(x2−2x−3)=3(x+1)(x−3)f'(x)=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).
  3. La dérivée est positive hors de [−1;3][-1;3] et négative entre les deux racines. Ainsi f croît, décroît, puis croît.
  4. f(−1)=6f(-1)=6 et f(3)=−26f(3)=-26. Ces valeurs correspondent au maximum local puis au minimum local.

Choisir une méthode : Boîte sans couvercle

Exercice 3 : Boîte sans couvercle

Difficile

On découpe des carrés de côté xx aux coins d'une feuille 30 cm par 20 cm, puis on replie.

  1. Exprimer le volume V(x)V(x).
  2. Donner le domaine.
  3. Calculer et factoriser V′V'.
  4. Déterminer numériquement la valeur de xx donnant le volume maximal.
Indication
Le volume est hauteur fois longueur restante fois largeur restante.
Voir le corrigé
  1. Après découpe, la hauteur vaut x et la base mesure (30−2x)(30-2x) par (20−2x)(20-2x). Ainsi V(x)=x(30−2x)(20−2x)V(x)=x(30-2x)(20-2x).
  2. Les longueurs doivent être positives : 0<x<100\lt x\lt 10.
  3. V′(x)=12x2−200x+600=4(3x2−50x+150)V'(x)=12x^2-200x+600=4(3x^2-50x+150).
  4. Les racines sont 25±573\frac{25\pm5\sqrt7}{3}. Seule x=25−573≈3,92x=\frac{25-5\sqrt7}{3}\approx3{,}92 appartient au domaine et correspond au maximum du volume.

Exercice 4 : Maximiser un bénéfice modélisé par un trinôme

Moyen

Un bénéfice en milliers d'euros est B(x)=−2x2+24x−40B(x)=-2x^2+24x-40 pour x∈[0;15]x\in[0;15].

  1. Calculer la dérivée et déterminer son zéro.
  2. En déduire les variations de B sur son domaine.
  3. Calculer et interpréter le bénéfice maximal.
  4. Vérifier que la valeur optimale appartient au domaine.
Indication
Définir la variable et son domaine imposé par le contexte.
Voir le corrigé
  1. B′(x)=−4x+24B'(x)=-4x+24. B′(x)=0B'(x)=0 pour x=6x=6 ; elle est positive avant 6 et négative après.
  2. BB croît sur [0;6][0;6] puis décroît sur [6;15][6;15].
  3. Le maximum est B(6)=32B(6)=32, soit 32 000 euros.
  4. Le domaine confirme que x=6x=6 est admissible.

Exercice 5 : Optimiser une aire sous une parabole

Difficile

Pour x∈[0;6]x\in[0;6], un rectangle a pour largeur x et pour hauteur 12−2x12-2x.

  1. Exprimer l'aire A(x)A(x).
  2. Étudier les variations avec la dérivée.
  3. Donner les dimensions et l'aire maximales.
Indication
Le domaine vient de la positivité des deux longueurs.
Voir le corrigé
  1. A(x)=x(12−2x)=−2x2+12xA(x)=x(12-2x)=-2x^2+12x.
  2. A′(x)=12−4xA'(x)=12-4x, positive avant 3 et négative après 3. L'aire atteint donc son maximum en 3.
  3. La largeur vaut 3, la hauteur 6 et l'aire maximale 18 unités carrées.

Approfondir Variations et optimisation : Établir une inégalité à partir d'un minimum

Exercice 6 : Comparer une parabole à sa tangente

Moyen

Les fonctions dérivables f(x)=x2f(x)=x^2 et g(x)=2x−1g(x)=2x-1 représentent une parabole et sa tangente au point d'abscisse 1.

  1. Étudier la différence h=f−gh=f-g.
  2. Déterminer l'extremum de h.
  3. En déduire la position relative des deux courbes.
  4. Préciser leur point de contact.
Indication
Factoriser h(x)h(x) sous la forme d'un carré.
Voir le corrigé
  1. h(x)=x2−(2x−1)=(x−1)2h(x)=x^2-(2x-1)=(x-1)^2.
  2. La fonction hh admet le minimum 0 en x=1x=1.
  3. Comme h(x)≥0h(x)\geq0, on a f(x)≥g(x)f(x)\geq g(x) sur R\mathbb R : la parabole reste au-dessus de sa tangente.
  4. L'égalité a lieu uniquement pour x=1x=1, avec f(1)=g(1)=1f(1)=g(1)=1. Le point de contact est (1;1)(1;1).

Exercice 7 : Établir une inégalité à partir d’un minimum

Difficile

Une étude de variations montre qu'une fonction ff atteint sur un intervalle II son minimum mm au point d'abscisse aa.

  1. Traduire précisément le fait que mm est le minimum de ff sur II.
  2. En déduire l'inégalité valable sur tout l'intervalle.
Indication
La conclusion vient de la définition du minimum, pas de la seule apparence du graphique.
Voir le corrigé
  1. Dire que mm est le minimum signifie que f(a)=mf(a)=m et qu'aucune image f(x)f(x), pour x∈Ix\in I, n'est inférieure à mm.
  2. Par conséquent, pour tout x∈Ix\in I, f(x)≥mf(x)\geq m. Le domaine II doit figurer dans la conclusion.
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