Fonctions inverse et racine carrée Seconde : 6 exercices corrigés

Chaque exercice commence par les contraintes de domaine propres à l'inverse ou à la racine carrée. Les comparaisons se font sans décimales, puis une équation mêlant simplification et valeur interdite vérifie que le domaine n'a pas été oublié.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Fonctions inverse et racine carrée. L'hyperbole et ses propriétés sont détaillées dans la fonction inverse.

Bases de Fonctions inverse et racine carrée : Domaines et images exactes

Exercice 1 : Domaines et images exactes

Facile

Calculer f(−4)f(-4), f(1/2)f(1/2) pour f(x)=1/xf(x)=1/x, puis g(0)g(0), g(25/4)g(25/4) pour g(x)=xg(x)=\sqrt x.

  1. Rappeler les deux domaines.
  2. Calculer les quatre images.
Indication
Conserver les fractions exactes avant toute approximation.
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  1. Pour f(x)=1/xf(x)=1/x, Df=R∖{0}D_f=\mathbb R\setminus\{0\}. Pour g(x)=xg(x)=\sqrt x, Dg=[0;+∞[D_g=[0;+\infty[.
  2. f(−4)=−14f(-4)=-\frac14, f(12)=2f(\frac12)=2, g(0)=0g(0)=0 et g(254)=52g(\frac{25}{4})=\frac52.

Exercice 2 : Inéquations de référence

Moyen

Résoudre x≤4\sqrt x\leq4, puis 1/x>01/x\gt 0.

  1. Tenir compte du domaine.
  2. Donner les solutions en intervalles.
  3. Contrôler les bornes.
Indication
La racine carrée est croissante sur son domaine. L'inverse a le signe de x.
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  1. La première inéquation impose d'abord x≥0x\geq0. La seconde impose x≠0x\neq0.
  2. x≤4\sqrt x\leq4 donne x∈[0;16]x\in[0;16]. L'inéquation 1/x>01/x\gt 0 donne x∈]0;+∞[x\in]0;+\infty[.
  3. Dans la première solution, 0 et 16 sont admis car 0=0\sqrt0=0 et 16=4\sqrt{16}=4. Dans la seconde, 0 reste exclu car le quotient n'y est pas défini.

Choisir une méthode : Comparer sans décimales 1/71/7 et 1/51/5, puis 7\sqrt7 et 5\sqrt5

Exercice 3 : Comparer sans décimales 1/71/7 et 1/51/5, puis 7\sqrt7 et 5\sqrt5

Moyen

Les nombres 5 et 7 sont positifs. On utilise les variations plutôt que des approximations de calculatrice.

  1. Comparer 17\frac17 et 15\frac15 à partir des variations de la fonction inverse.
  2. Comparer 7\sqrt7 et 5\sqrt5 à partir des variations de la racine carrée.
  3. Expliquer pourquoi les deux comparaisons n'ont pas le même sens.
Indication
Écrire le domaine et vérifier que toutes les valeurs comparées y appartiennent.
Voir le corrigé
  1. Sur les positifs, la fonction inverse est décroissante. Comme 5<75\lt 7, on obtient 15>17\frac15\gt \frac17.
  2. La fonction racine carrée est croissante sur les positifs. La même inégalité 5<75\lt 7 donne 5<7\sqrt5\lt \sqrt7.
  3. Les sens opposés proviennent des variations, pas des symboles de fraction ou de racine seuls.

Exercice 4 : Comparer sans décimales

Difficile

Comparer 1/71/7 et 1/91/9, puis 11\sqrt{11} et 10/310/3, sans utiliser d'arrondi.

  1. Utiliser les variations de l'inverse.
  2. Comparer les carrés dans le second cas.
  3. Conclure exactement.
  4. Expliquer pourquoi les signes sont indispensables.
Indication
Sur les positifs, l'inverse est décroissante.
Voir le corrigé
  1. Sur ]0;+∞[]0;+\infty[, la fonction inverse est décroissante. Comme 7<97\lt 9, 17>19\frac17\gt \frac19.
  2. Les deux nombres à comparer sont positifs et 11<1009=(103)211\lt \frac{100}{9}=(\frac{10}{3})^2.
  3. On conclut exactement que 11<103\sqrt{11}\lt \frac{10}{3}.
  4. Comparer les carrés préserve l'ordre seulement lorsque les deux membres sont positifs ou nuls. Sans cette vérification, le raisonnement peut être faux.

Approfondir Fonctions inverse et racine carrée : Justifier la décroissance de l'inverse sur les positifs

Exercice 5 : Équation mêlant inverse et domaine

Difficile

Résoudre dans R\mathbb R l'équation 1x−2=3\dfrac{1}{x-2}=3.

  1. Donner la valeur interdite.
  2. Résoudre l'équation.
  3. Vérifier la solution dans l'expression initiale.
Indication
Multiplier par x−2x-2 seulement après avoir écrit x≠2x\neq2.
Voir le corrigé
  1. La valeur x=2x=2 est interdite.
  2. Pour x≠2x\neq2, 1=3(x−2)1=3(x-2), donc x=73x=\frac73.
  3. 17/3−2=11/3=3\frac{1}{7/3-2}=\frac{1}{1/3}=3. La solution est admise.

Exercice 6 : Justifier la décroissance de l’inverse sur les positifs

Difficile

Soient aa et bb deux réels strictement positifs tels que a<ba\lt b. Il faut comparer leurs inverses.

  1. Mettre 1/a−1/b1/a-1/b au même dénominateur.
  2. Étudier son signe et conclure sur la fonction inverse.
Indication
Sur les réels positifs, le produit abab ne change pas le signe du numérateur.
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  1. La différence vaut 1a−1b=b−aab\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}.
  2. Le numérateur b−ab-a et le dénominateur abab sont positifs. La différence est donc positive : 1/a>1/b1/a\gt 1/b. La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
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