Fonctions, domaine et parité Seconde : 7 exercices corrigés

Avant tout calcul d'image, il faut décider où l'expression est définie. Les exercices font ensuite intervenir la parité, un domaine non symétrique et le test de la droite verticale pour distinguer une vraie courbe de fonction.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Fonctions, domaine et parité. Le vocabulaire complet est développé dans les généralités sur les fonctions.

Bases de Fonctions, domaine et parité : Domaine d'une expression

Exercice 1 : Domaine d’une expression

Facile

Déterminer les domaines de f(x)=1/(x−4)f(x)=1/(x-4) et g(x)=2x+6g(x)=\sqrt{2x+6}.

  1. Donner le domaine de f.
  2. Donner le domaine de g.
  3. Tester la valeur −3-3 pour les deux fonctions.
Indication
Un dénominateur ne s'annule pas et le contenu d'une racine carrée doit être positif ou nul.
Voir le corrigé
  1. Le dénominateur ne doit pas être nul : Df=R∖{4}D_f=\mathbb R\setminus\{4\}.
  2. Il faut 2x+6≥02x+6\geq0, donc Dg=[−3;+∞[D_g=[-3;+\infty[.
  3. La valeur −3-3 appartient aux deux domaines. On a f(−3)=−17f(-3)=-\frac17 et g(−3)=0g(-3)=0.

Exercice 2 : Parité par calcul

Moyen

On considère h(x)=x4−3x2+2h(x)=x^4-3x^2+2 sur R\mathbb R et k(x)=x3+2xk(x)=x^3+2x.

  1. Calculer h(−x)h(-x) et conclure.
  2. Calculer k(−x)k(-x) et conclure.
  3. Décrire la symétrie de chaque courbe.
Indication
Comparer l'expression obtenue à h(x)h(x) ou −h(x)-h(x), puis à k(x)k(x) ou −k(x)-k(x).
Voir le corrigé
  1. h(−x)=(−x)4−3(−x)2+2=h(x)h(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+2=h(x). La fonction hh est paire.
  2. k(−x)=(−x)3+2(−x)=−k(x)k(-x)=(-x)^3+2(-x)=-k(x). La fonction kk est impaire.
  3. La courbe de hh est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Celle de kk possède une symétrie centrale de centre OO.

Choisir une méthode : Étudier le domaine et la parité d'une fonction

Exercice 3 : Étudier le domaine et la parité d’une fonction

Moyen

On considère f(x)=1x2+1f(x)=\frac{1}{x^2+1} et g(x)=1xg(x)=\frac1x. On compare leurs domaines et leurs symétries.

  1. Déterminer le domaine de définition de f.
  2. Étudier la parité de f.
  3. Déterminer le domaine et la parité de g.
  4. Relier les deux résultats aux symétries des courbes.
Indication
Identifier le domaine à partir des contraintes de la formule ou du graphique.
Voir le corrigé
  1. Pour ff, x2+1x^2+1 est toujours positif : le domaine est R\mathbb R.
  2. f(−x)=1(−x)2+1=f(x)f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=f(x), donc ff est paire.
  3. Pour g, la valeur 0 est interdite : le domaine est R privé de 0. g(−x)=−1x=−g(x)g(-x)=-\frac1x=-g(x), donc gg est impaire.
  4. Les symétries attendues peuvent être contrôlées sur leurs courbes.

Exercice 4 : Résoudre graphiquement avec un tableau

Difficile

Une fonction continue sur [−2;5][-2;5] est croissante de −2-2 à 1, décroissante de 1 à 4, puis croissante de 4 à 5. On sait f(−2)=−1f(-2)=-1, f(1)=6f(1)=6, f(4)=0f(4)=0 et f(5)=2f(5)=2.

  1. Encadrer le nombre de solutions de f(x)=1f(x)=1.
  2. Localiser chaque solution dans un intervalle.
  3. Résoudre f(x)>6f(x)\gt 6.
  4. Expliquer ce qu'on ne peut pas déterminer exactement.
Indication
Comparer le niveau 1 à chaque portion monotone.
Voir le corrigé
  1. Par continuité et monotonie sur chacune des trois portions, le niveau 1 est atteint exactement trois fois.
  2. Les trois solutions se trouvent respectivement dans ]−2;1[]-2;1[, ]1;4[]1;4[ et ]4;5[]4;5[.
  3. La valeur maximale donnée est 6, atteinte en 1. L'inéquation f(x)>6f(x)\gt 6 n'a donc aucune solution.
  4. Le tableau permet de localiser les solutions, mais pas de calculer leurs abscisses exactes sans expression de f ou graphique suffisamment gradué.

Exercice 5 : Domaine avec quotient et racine

Difficile

Déterminer le domaine de h(x)=5−2xx+1h(x)=\dfrac{\sqrt{5-2x}}{x+1}.

  1. Traduire la condition de la racine.
  2. Repérer la valeur interdite du dénominateur.
  3. Écrire le domaine sous forme d'intervalles.
Indication
Traiter séparément le radicande et le dénominateur, puis croiser les conditions.
Voir le corrigé
  1. Il faut 5−2x≥05-2x\geq0, donc x≤52x\leq\frac52.
  2. Il faut aussi x≠−1x\neq-1.
  3. Le domaine est ]−∞;−1[∪]−1;52]]-\infty;-1[\cup]-1;\frac52].

Approfondir Fonctions, domaine et parité : Justifier qu'une courbe représente bien une fonction

Exercice 6 : Parité impossible sur un domaine non symétrique

Moyen

Un élève affirme que g(x)=x+2g(x)=\sqrt{x+2}, définie sur [−2;+∞[[-2;+\infty[, est paire parce que sa courbe semble monter régulièrement.

  1. Identifier la première condition qui échoue.
  2. Comparer g(1)g(1) et g(−1)g(-1).
  3. Corriger la conclusion.
Indication
Avant de calculer f(−x)f(-x), vérifier que le domaine est symétrique par rapport à 0.
Voir le corrigé
  1. Le domaine n'est pas symétrique : par exemple 3 appartient au domaine, mais −3-3 n'y appartient pas.
  2. g(1)=3g(1)=\sqrt3 et g(−1)=1g(-1)=1, donc les images ne sont pas égales.
  3. La fonction n'est ni paire ni impaire. Le sens de variation ne détermine pas la parité.

Exercice 7 : Justifier qu’une courbe représente bien une fonction

Difficile

On observe une courbe dans un repère et l'on veut décider si elle peut représenter une fonction.

  1. Formuler le test graphique à effectuer avec une droite verticale.
  2. Justifier ce test à partir de la définition d'une fonction.
Indication
Raisonner pour une abscisse fixée, et non en suivant la courbe de gauche à droite.
Voir le corrigé
  1. Toute droite verticale doit rencontrer la courbe au plus une fois.
  2. Une fonction associe au plus une image à chaque antécédent de son domaine. Deux intersections de même abscisse donneraient deux images différentes, ce qui est impossible.
Partager