Fonctions Seconde : domaine, courbe et parité

Les fonctions en Seconde décrivent comment une grandeur dépend d'une autre. Une fonction peut être donnée par une formule, un tableau, une courbe ou un algorithme, et chaque représentation répond plus facilement à certaines questions.

Avant tout calcul, il faut déterminer les valeurs autorisées de l'entrée. Le domaine de définition évite les divisions par zéro et les racines impossibles dans les réels. La parité permet ensuite de reconnaître une symétrie sans recalculer toute la courbe.

Table des Matières

Définir une fonction et son domaine

Une entrée, une image unique

Une fonction $f$ associe à chaque réel $x$ de son domaine une unique valeur $f(x)$ . Le domaine de définition est l'ensemble des entrées pour lesquelles la règle a un sens. Une image est unique, tandis qu'une valeur peut posséder plusieurs antécédents ou aucun.

Lire images, antécédents et équations sur une courbe

Résoudre $f(x)=k$ revient à chercher les abscisses des intersections entre la courbe et la droite horizontale $y=k$ . Résoudre $f(x)\gt k$ consiste à repérer les portions où la courbe est au-dessus de cette droite.

Une fonction associe une image à chaque antécédent — Le domaine de définition rassemble les entrées autorisées et chaque entrée possède une seule image.

Reconnaître une fonction paire ou impaire

Parité et symétries de la courbe

Sur un domaine symétrique par rapport à 0, $f$ est paire si $f(-x)=f(x)$ , ce qui produit une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si $f(-x)=-f(x)$ , ce qui produit une symétrie centrale par rapport à l'origine.

f(-x)=f(x)\ \text{pour une fonction paire},\qquad f(-x)=-f(x)\ \text{pour une fonction impaire}.

Passer d’une représentation de fonction à une autre

Identifier le domaine à partir des contraintes de la formule ou du graphique.
Pour une image, partir de l'abscisse ; pour un antécédent, partir de la valeur d'arrivée.
Construire un tableau de valeurs avec des entrées adaptées au phénomène observé.
Sur la courbe, utiliser une verticale pour une image et une horizontale pour les antécédents.
Contrôler la précision de la lecture et utiliser une valeur approchée si nécessaire.

Étudier le domaine et la parité d’une fonction

On considère $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ et $g(x)=\frac1x$ . On compare leurs domaines et leurs symétries.

Pour $f$ , $x^2+1$ est toujours positif : le domaine est $\mathbb R$ .
$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=f(x)$ , donc $f$ est paire.
Pour g, la valeur 0 est interdite : le domaine est R privé de 0.
$g(-x)=-\frac1x=-g(x)$ , donc $g$ est impaire.
Les symétries attendues peuvent être contrôlées sur leurs courbes.

Justifier qu’une courbe représente bien une fonction

Le test de la droite verticale

Pour une abscisse donnée, une fonction ne peut produire qu'une image. Graphiquement, toute droite verticale doit donc couper la courbe au plus une fois. Ce test ne prouve pas une formule, mais il élimine les dessins qui associent plusieurs ordonnées à la même abscisse.

Choisir la représentation la plus efficace

Une formule donne des valeurs exactes, un tableau organise des données discrètes et une courbe montre variations et intersections. Dans un problème, changer de registre peut rendre visible une solution que le calcul direct masque.

Le vocabulaire complet est développé dans les généralités sur les fonctions. La démarche se prolonge avec la méthode d'étude d'une fonction.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de fonctions Seconde. Les prolongements signalés servent directement à choisir la représentation la plus efficace.

Contrôler domaine, images et antécédents

Erreur fréquente : ne pas déduire la parité d'une fonction uniquement de l'allure d'un morceau de courbe. Le domaine doit être symétrique et l'égalité algébrique doit être vérifiée.

Contrôle utile : pour chaque lecture graphique, annoncer si la valeur est exacte ou approchée et vérifier le sens de lecture entre abscisse et ordonnée.