Coordonnées, norme et colinéarité Seconde : 8 exercices corrigés

Les coordonnées servent ici à calculer une norme, tester un alignement et déterminer un paramètre inconnu. Le déterminant est toujours interprété avant la conclusion de colinéarité, afin d'éviter un calcul isolé de son sens géométrique.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Coordonnées, norme et colinéarité. La norme et les coordonnées seront réinvesties dans les calculs de produit scalaire.

Bases de Coordonnées, norme et colinéarité : Coordonnées et norme d'un vecteur

Exercice 1 : Coordonnées et norme d’un vecteur

Facile

Dans un repère orthonormé, A(−2;3)A(-2;3) et B(4;−5)B(4;-5).

  1. Calculer AB⃗\vec{AB}.
  2. Calculer exactement sa norme.
  3. Donner une valeur approchée au centième.
Indication
Soustraire coordonnées de l'arrivée moins celles du départ.
Voir le corrigé
  1. AB→=(4−(−2);−5−3)=(6;−8)\overrightarrow{AB}=(4-(-2);-5-3)=(6;-8).
  2. Dans un repère orthonormé, ∥AB→∥=62+(−8)2=100=10\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10.
  3. Au centième, la norme vaut 10,0010{,}00. Ici la valeur exacte est déjà décimale.

Exercice 2 : Tester une colinéarité

Moyen

On donne u=(3;−2)u=(3;-2), v=(−9;6)v=(-9;6) et w=(4;5)w=(4;5).

  1. Calculer det⁡(u,v)\det(u,v).
  2. Conclure sur u et v.
  3. Tester u et w.
Indication
Deux vecteurs du plan sont colinéaires si leur déterminant est nul.
Voir le corrigé
  1. det⁡(u,v)=3×6−(−2)×(−9)=18−18=0\det(u,v)=3\times6-(-2)\times(-9)=18-18=0.
  2. Les vecteurs uu et vv sont colinéaires ; plus précisément, v=−3uv=-3u.
  3. det⁡(u,w)=3×5−(−2)×4=23≠0\det(u,w)=3\times5-(-2)\times4=23\neq0. Les vecteurs uu et ww ne sont donc pas colinéaires.

Choisir une méthode : Vérifier l'alignement de trois points

Exercice 3 : Vérifier l’alignement de trois points

Moyen

On considère A(1;2)A(1;2), B(4;5)B(4;5) et C(7;8)C(7;8). On veut établir l'alignement sans se fier au dessin.

  1. Calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  2. Calculer leur déterminant et interpréter sa valeur.
  3. Conclure sur l'alignement des trois points.
Indication
Choisir deux vecteurs adaptés à la propriété, avec une origine commune pour l'alignement.
Voir le corrigé
  1. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (3;3)(3;3). Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} a pour coordonnées (6;6)(6;6).
  2. Le déterminant vaut 3×6−3×6=03\times6-3\times6=0. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  3. Comme ils ont la même origine A, les points A, B et C sont alignés.

Exercice 4 : Alignement avec un paramètre

Difficile

Les points A(1;2)A(1;2), B(5;−1)B(5;-1) et C(k;8)C(k;8) doivent être alignés.

  1. Calculer AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
  2. Écrire l'équation de déterminant nul.
  3. Déterminer k.
  4. Vérifier l'alignement avec la valeur trouvée.
Indication
Utiliser det⁡(AB⃗,AC⃗)=0\det(\vec{AB},\vec{AC})=0.
Voir le corrigé
  1. AB→=(4;−3)\overrightarrow{AB}=(4;-3) et AC→=(k−1;6)\overrightarrow{AC}=(k-1;6).
  2. L'alignement impose det⁡(AB→,AC→)=4×6−(−3)(k−1)=0\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=4\times6-(-3)(k-1)=0, soit 3k+21=03k+21=0.
  3. On obtient k=−7k=-7.
  4. Pour k=−7k=-7, AC→=(−8;6)=−2AB→\overrightarrow{AC}=(-8;6)=-2\overrightarrow{AB}. Les deux vecteurs sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés.

Approfondir Coordonnées, norme et colinéarité : Coordonnée inconnue pour un alignement

Exercice 5 : Relier déterminant nul et proportionnalité des coordonnées

Difficile

On considère u⃗=(x;y)\vec u=(x;y) et v⃗=(x′;y′)\vec v=(x';y'), avec u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec 0. On veut relier leur colinéarité au déterminant xy′−yx′xy'-yx'.

  1. Montrer que la colinéarité entraîne xy′−yx′=0xy'-yx'=0.
  2. Supposer le déterminant nul et traiter le cas x≠0x\neq0.
  3. Expliquer brièvement le cas x=0x=0.
Indication
Dans la réciproque, utiliser la coordonnée non nulle de u⃗\vec u pour construire le coefficient de proportionnalité.
Voir le corrigé
  1. Si v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u, alors x′=kxx'=kx et y′=kyy'=ky. Ainsi xy′−yx′=xky−ykx=0xy'-yx'=xky-ykx=0.
  2. Si x≠0x\neq0, poser k=x′/xk=x'/x. L'égalité xy′=yx′xy'=yx' donne y′=kyy'=ky, donc v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u.
  3. Si x=0x=0, alors y≠0y\neq0. L'égalité du déterminant impose x′=0x'=0, puis on pose k=y′/yk=y'/y. Les vecteurs sont encore colinéaires.

Exercice 6 : Coordonnée inconnue pour un alignement

Difficile

On donne A(−1;2)A(-1;2), B(3;5)B(3;5) et C(7;k)C(7;k). Déterminer kk pour que les trois points soient alignés.

  1. Calculer AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  2. Écrire le déterminant puis résoudre.
  3. Contrôler avec un coefficient de proportionnalité.
Indication
L'alignement équivaut à det⁡(AB→,AC→)=0\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0.
Voir le corrigé
  1. AB→=(4;3)\overrightarrow{AB}=(4;3) et AC→=(8;k−2)\overrightarrow{AC}=(8;k-2).
  2. Le déterminant vaut 4(k−2)−3×8=4k−324(k-2)-3\times8=4k-32. Il est nul pour k=8k=8.
  3. Avec k=8k=8, AC→=(8;6)=2AB→\overrightarrow{AC}=(8;6)=2\overrightarrow{AB}, donc l'alignement est confirmé.
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