Calcul littéral et identités remarquables Seconde : 11 exercices corrigés

Les onze exercices de cette page ne demandent pas tous la même transformation. Certains imposent un développement, d'autres une factorisation, une étude du domaine ou le choix d'une forme plus efficace. Chaque corrigé indique pourquoi la forme retenue répond à la question.

Les règles et leurs contrôles sont détaillés dans le cours de calcul littéral en Seconde. La dernière partie prépare naturellement la résolution d'équations et d'inéquations.

Calculer, réduire et développer

Exercice 1 : substituer sans perdre les signes

Facile

On pose A(x)=2x2−5x−3A(x)=2x^2-5x-3.

  1. Calculer A(0)A(0), A(2)A(2) et A(−3)A(-3).
  2. Vérifier que A(3)=0A(3)=0.
  3. La valeur −3-3 est-elle un zéro de AA ?
Indication
Pour une valeur négative, écrire d'abord toutes les parenthèses : 2(−3)2−5(−3)−32(-3)^2-5(-3)-3.
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1. A(0)=−3A(0)=-3, A(2)=8−10−3=−5A(2)=8-10-3=-5, et A(−3)=18+15−3=30A(-3)=18+15-3=30.

2. A(3)=18−15−3=0A(3)=18-15-3=0.

3. Non, car A(−3)=30≠0A(-3)=30\ne0.

Exercice 2 : réduire un polynôme mélangé

Facile

Réduire :

B=4x2−3x+5−2(1−x)+7x2−6x. B=4x^2-3x+5-2(1-x)+7x^2-6x.
  1. Développer le terme −2(1−x)-2(1-x).
  2. Regrouper les termes de même degré.
  3. Calculer BB pour x=1x=1 dans les deux formes afin de contrôler.
Indication
Le signe moins devant la parenthèse agit sur chacun de ses termes.
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1. −2(1−x)=−2+2x-2(1-x)=-2+2x.

2. B=(4+7)x2+(−3+2−6)x+(5−2)=11x2−7x+3B=(4+7)x^2+(-3+2-6)x+(5-2)=11x^2-7x+3.

3. La forme réduite donne 11−7+3=711-7+3=7. La forme initiale donne 4−3+5−0+7−6=74-3+5-0+7-6=7.

Exercice 3 : développer un produit de binômes

Facile
  1. Développer C=(3x−2)(x+4)C=(3x-2)(x+4).
  2. Développer D=(2−x)(5x+1)D=(2-x)(5x+1).
  3. Calculer C−DC-D sous forme réduite.
Indication
Écrire les quatre produits avant de réduire. Dans DD, le terme −x-x multiplie aussi +1+1.
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1. C=3x2+12x−2x−8=3x2+10x−8C=3x^2+12x-2x-8=3x^2+10x-8.

2. D=10x+2−5x2−x=−5x2+9x+2D=10x+2-5x^2-x=-5x^2+9x+2.

3. C−D=3x2+10x−8−(−5x2+9x+2)=8x2+x−10C-D=3x^2+10x-8-(-5x^2+9x+2)=8x^2+x-10.

Exercice 4 : développer avec les identités remarquables

Moyen
  1. Développer (2x+5)2(2x+5)^2.
  2. Développer (3x−4)2(3x-4)^2.
  3. Développer (5x−1)(5x+1)(5x-1)(5x+1).
Indication
Identifier aa et bb avant de remplacer dans l'identité. Le terme central vaut 2ab2ab.
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  1. (2x+5)2=4x2+20x+25(2x+5)^2=4x^2+20x+25.
  2. (3x−4)2=9x2−24x+16(3x-4)^2=9x^2-24x+16.
  3. (5x−1)(5x+1)=25x2−1(5x-1)(5x+1)=25x^2-1.

Factoriser et choisir une forme

Exercice 5 : extraire le facteur commun maximal

Facile
  1. Factoriser 12x3−18x212x^3-18x^2.
  2. Factoriser 5x(x−2)+3(x−2)5x(x-2)+3(x-2).
  3. Contrôler chaque résultat par développement.
Indication
Dans la première expression, 6x26x^2 divise les deux termes. Dans la seconde, le facteur complet est x−2x-2.
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1. 12x3−18x2=6x2(2x−3)12x^3-18x^2=6x^2(2x-3). Le développement redonne 12x3−18x212x^3-18x^2.

2. 5x(x−2)+3(x−2)=(x−2)(5x+3)5x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(5x+3). Le développement donne 5x2−7x−65x^2-7x-6, comme l'expression initiale réduite.

3. Les deux contrôles précédents retrouvent exactement les expressions de départ.

Exercice 6 : reconnaître une identité en sens inverse

Moyen

Factoriser :

  1. x2+14x+49x^2+14x+49.
  2. 9x2−24x+169x^2-24x+16.
  3. 25x2−3625x^2-36.
Indication
Vérifier les carrés aux extrémités, puis le terme double au milieu. La troisième expression est une différence de carrés.
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  1. x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2x^2+14x+49=x^2+2\times7x+7^2=(x+7)^2.
  2. 9x2−24x+16=(3x)2−2×3x×4+42=(3x−4)29x^2-24x+16=(3x)^2-2\times3x\times4+4^2=(3x-4)^2.
  3. 25x2−36=(5x)2−62=(5x−6)(5x+6)25x^2-36=(5x)^2-6^2=(5x-6)(5x+6).

Exercice 7 : choisir la forme la plus efficace

Moyen

On pose E(x)=(x−3)(2x+5)E(x)=(x-3)(2x+5).

  1. Calculer E(3)E(3) sans développer.
  2. Résoudre E(x)=0E(x)=0.
  3. Développer E(x)E(x), puis lire le coefficient de xx.
  4. Expliquer quelle forme était la plus adaptée à chaque question.
Indication
Un facteur nul simplifie une valeur ou une équation. Les coefficients, eux, se lisent sur la forme développée.
Voir le corrigé

1. E(3)=(3−3)(2×3+5)=0E(3)=(3-3)(2\times3+5)=0.

2. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : x=3x=3 ou 2x+5=02x+5=0, donc x=−52x=-\frac52.

3. E(x)=2x2+5x−6x−15=2x2−x−15E(x)=2x^2+5x-6x-15=2x^2-x-15. Le coefficient de xx est −1-1.

4. La forme factorisée convient aux deux premières questions. La forme développée convient à la lecture des coefficients.

Travailler avec fractions, erreurs et problèmes

Exercice 8 : simplifier en conservant les valeurs interdites

Moyen

Pour chaque expression, déterminer le domaine puis simplifier.

  1. F(x)=(x−4)(x+1)x−4F(x)=\frac{(x-4)(x+1)}{x-4}.
  2. G(x)=x2−9x+3G(x)=\frac{x^2-9}{x+3}.
  3. H(x)=2x2+6x2xH(x)=\frac{2x^2+6x}{2x}.
Indication
Factoriser le numérateur si nécessaire, puis supprimer uniquement un facteur commun non nul.
Voir le corrigé

1. x≠4x\ne4, et F(x)=x+1F(x)=x+1 sur ce domaine.

2. x≠−3x\ne-3. Comme x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3), G(x)=x−3G(x)=x-3 pour x≠−3x\ne-3.

3. x≠0x\ne0. On factorise 2x(x+3)2x(x+3), donc H(x)=x+3H(x)=x+3 pour x≠0x\ne0.

Exercice 9 : repérer une simplification interdite

Moyen

Pour x≠0x\ne0, un élève écrit x+2x=2\frac{x+2}{x}=2 après avoir « supprimé les xx ».

  1. Montrer par une valeur numérique que l'égalité est fausse.
  2. Expliquer pourquoi aucune simplification de facteur n'est possible.
  3. Donner une transformation correcte de l'expression.
Indication
Tester x=2x=2, puis séparer la fraction en deux quotients ayant le même dénominateur.
Voir le corrigé

1. Pour x=2x=2, x+2x=42=2\frac{x+2}{x}=\frac42=2, ce test ne réfute pas l'égalité. Prenons donc x=1x=1 : 1+21=3≠2\frac{1+2}{1}=3\ne2.

2. Au numérateur, xx est un terme d'une somme, pas un facteur de x+2x+2. On ne peut supprimer que des facteurs communs à tout le numérateur et au dénominateur.

3. x+2x=xx+2x=1+2x\frac{x+2}{x}=\frac{x}{x}+\frac2x=1+\frac2x, pour x≠0x\ne0.

Exercice 10 : comparer deux aires

Difficile

Un grand carré a pour côté x+3x+3. On retire un petit carré de côté x−1x-1, avec x>1x>1.

  1. Écrire l'aire restante comme différence de deux carrés.
  2. Factoriser cette aire.
  3. Développer le résultat.
  4. Calculer l'aire pour x=5x=5.
Indication
Utiliser a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) avec a=x+3a=x+3 et b=x−1b=x-1.
Voir le corrigé

1. A(x)=(x+3)2−(x−1)2A(x)=(x+3)^2-(x-1)^2.

2. A(x)=[(x+3)−(x−1)][(x+3)+(x−1)]=4(2x+2)=8(x+1)A(x)=[(x+3)-(x-1)][(x+3)+(x-1)]=4(2x+2)=8(x+1).

3. La forme développée est A(x)=8x+8A(x)=8x+8.

4. A(5)=8×6=48A(5)=8\times6=48 unités d'aire.

Exercice 11 : factoriser avant de résoudre

Difficile

Résoudre dans R\mathbb R :

(x+4)2−(x+4)(2x−1)=0. (x+4)^2-(x+4)(2x-1)=0.
  1. Repérer puis extraire le facteur commun.
  2. Résoudre l'équation produit obtenue.
  3. Vérifier les deux solutions dans l'expression initiale.
Indication
Le facteur commun est x+4x+4. Ne développez pas avant de l'avoir extrait.
Voir le corrigé

1. (x+4)2−(x+4)(2x−1)=(x+4)[(x+4)−(2x−1)]=(x+4)(5−x)(x+4)^2-(x+4)(2x-1)=(x+4)[(x+4)-(2x-1)]=(x+4)(5-x).

2. (x+4)(5−x)=0(x+4)(5-x)=0 donne x=−4x=-4 ou x=5x=5.

3. Pour x=−4x=-4, les deux termes de l'expression initiale contiennent x+4=0x+4=0, donc le résultat est nul. Pour x=5x=5, on obtient 92−9×9=09^2-9\times9=0. Les deux solutions sont validées.

Pour consolider le choix de stratégie, reprenez les exercices 7, 8 et 11 en annotant la raison de chaque transformation, puis comparez votre démarche avec les méthodes du cours.

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