Variables aléatoires Première : loi et espérance

Les variables aléatoires en Première associent un nombre à chaque issue d'une expérience. Elles permettent de modéliser un gain, une durée ou un nombre de succès, puis de regrouper les issues qui produisent la même valeur.

La loi donne les probabilités des valeurs possibles. L'espérance décrit une moyenne théorique à long terme, tandis que variance et écart type mesurent la dispersion autour de cette moyenne.

Table des Matières

Passer d’une expérience à une variable aléatoire

Une valeur numérique par issue

Une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction définie sur l'univers et à valeurs réelles. L'événement $\{X=a\}$ rassemble toutes les issues auxquelles $X$ associe $a$ . Sa loi indique chaque valeur $x_i$ et sa probabilité $p_i$ .

Décider si un jeu est équitable

Un dé équilibré coûte 2 euros à jouer. On reçoit 8 euros si le résultat est 6, 3 euros si le résultat est 5, et rien sinon. $X$ est le gain net.

Pour 6, le gain net est 6 euros avec probabilité $1/6$ .
Pour 5, le gain net est 1 euro avec probabilité $1/6$ .
Pour les quatre autres faces, le gain net est -2 euros avec probabilité $4/6$ .
$E(X)=\frac66+\frac16-\frac86=-\frac16$ euro.
Le jeu n'est pas équitable pour le joueur, car l'espérance est négative.

Construire la loi d’un gain

Décrire les issues et calculer le gain net associé à chacune.
Regrouper les issues qui donnent la même valeur de X.
Additionner leurs probabilités et vérifier que la loi somme à 1.
Calculer l'espérance sans arrondir les probabilités intermédiaires.
Interpréter le signe de l'espérance et la dispersion dans le contexte.

Calculer espérance, variance et écart type

Espérance, variance et écart type

L'espérance est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités. La variance est l'espérance du carré de l'écart à la moyenne et l'écart type sa racine carrée. Les probabilités de la loi doivent sommer à 1.

E(X)=\sum x_ip_i,\qquad V(X)=\sum (x_i-E(X))^2p_i,\qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.

Lire une loi dans un tableau ou un diagramme

Un tableau aligne valeurs et probabilités. Un diagramme en bâtons montre les masses sans créer une densité continue. Deux lois peuvent avoir la même espérance mais des dispersions différentes, visibles dans l'éloignement des valeurs.

Loi discrète et position de l'espérance — Les hauteurs représentent les probabilités et l'espérance situe le centre de gravité de la loi.

Relier espérance et moyenne observée

L’espérance comme moyenne à long terme

Sur un grand nombre de répétitions indépendantes, les fréquences des valeurs tendent à se rapprocher de leurs probabilités. La moyenne observée se rapproche alors de la somme $\sum_i x_ip_i$ , ce qui donne son interprétation à l'espérance.

Comparer rentabilité moyenne et risque

L'espérance évalue un gain moyen théorique ; l'écart type renseigne sur la variabilité. Une décision peut préférer une espérance légèrement plus faible mais une dispersion nettement moindre selon le contexte.

Les lois et indicateurs sont approfondis dans le cours complet sur les variables aléatoires. La construction des probabilités peut nécessiter les probabilités conditionnelles.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de variables aléatoires Première. Les prolongements signalés servent directement à comparer rentabilité moyenne et risque.

Repères symboliques pour variables aléatoires Première

Écriture	Lecture et usage
$P(X=x_i)=p_i$	loi de probabilité
$\sum p_i=1$	contrôle de la loi
$E(X)=\sum x_ip_i$	espérance
$V(X)=E\bigl((X-E(X))^2\bigr)$	variance
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$	écart type

Construire la loi avant de calculer

Erreur fréquente : l'espérance n'est pas nécessairement une valeur que X peut prendre. Elle est une moyenne pondérée, pas le résultat garanti d'une répétition.

Contrôle utile : vérifier la somme des probabilités, l'unité de l'espérance et le caractère positif de la variance avant d'interpréter.