Fonction exponentielle Première : cours complet

La fonction exponentielle en Première décrit une évolution continue dont le taux instantané est proportionnel à la valeur présente. Elle est caractérisée par $\exp'=\exp$ et $\exp(0)=1$ .

Ses propriétés algébriques prolongent les puissances, tandis que ses variations expliquent les phénomènes de croissance et de décroissance. Le lien avec les suites géométriques compare temps discret et temps continu.

Table des Matières

Caractériser la fonction exponentielle

La fonction égale à sa dérivée

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ . Le nombre $e$ est défini par $e=\exp(1)$ , et on note $\exp(x)$ ou $e^x$ la valeur de la fonction. Elle est strictement positive sur $\mathbb R$ .

Comparer croissance géométrique et exponentielle

Une suite géométrique observe des valeurs à des instants entiers. Une fonction exponentielle décrit tous les instants réels. Les points de la suite peuvent se placer sur une courbe exponentielle lorsque les paramètres sont cohérents.

Courbe de la fonction exponentielle — La fonction exponentielle reste positive, passe par le point (0,1) et sa croissance accélère.

Calculer avec la relation fonctionnelle

Addition des exposants, multiplication des valeurs

Pour tous réels $x$ et $y$ , $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ . On en déduit $\exp(-x)=\frac1{\exp(x)}$ et $\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$ . La dérivée de $\exp(ax+b)$ est $a\exp(ax+b)$ .

e^{x+y}=e^xe^y,\qquad e^{-x}=\frac1{e^x},\qquad (e^x)'=e^x.

Simplifier et étudier une expression exponentielle

Regrouper les exposants à partir des propriétés, sans additionner les valeurs exp(x) et exp(y).
Utiliser la positivité de l'exponentielle pour les signes et les quotients.
Dériver en tenant compte du coefficient de l'expression affine dans l'exposant.
Comparer les exposants grâce à la stricte croissance de exp.
Interpréter les paramètres dans le modèle d'évolution.

Étudier une décroissance exponentielle

Une concentration est modélisée par $C(t)=80e^{-0{,}3t}$ pour $t\geq0$ . On cherche sa valeur initiale, son sens de variation et le temps où elle passe sous 20.

$C(0)=80$ .
$C'(t)=-24e^{-0{,}3t}$ , qui est négative car l'exponentielle est positive.
La concentration est strictement décroissante.
$C(t)\lt 20$ équivaut à $e^{-0{,}3t}\lt \frac14$ .
Une résolution numérique donne $t\gt 4{,}62$ environ : la concentration passe sous 20 après près de 4,63 unités de temps.

Démontrer que l’exponentielle ne s’annule jamais

Pourquoi $e^x$ est strictement positif

La relation $\exp(x)\exp(-x)=\exp(0)=1$ montre que ni $\exp(x)$ ni $\exp(-x)$ ne peut être nul. Comme $\exp$ est continue et vaut 1 en 0, elle ne peut changer de signe sans s'annuler ; elle reste donc positive.

Modéliser intérêt, dilution et radioactivité

L'exponentielle intervient lorsque la vitesse d'évolution est proportionnelle à la quantité présente. Le signe du paramètre distingue croissance et décroissance ; sa valeur absolue règle la rapidité du phénomène.

Les propriétés et modèles sont approfondis dans le cours complet sur l'exponentielle. Le parallèle discret s'appuie sur les suites géométriques.

Cette progression respecte le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de fonction exponentielle Première. Les prolongements signalés servent directement à modéliser intérêt, dilution et radioactivité.

Conserver les exposants et le domaine

Erreur fréquente : $e^{x+y}$ n'est pas $e^x+e^y$ . La propriété transforme une somme dans l'exposant en produit des exponentielles.

Contrôle utile : utiliser $\exp(0)=1$ , la positivité et la relation fonctionnelle pour vérifier une simplification ou une valeur particulière.