Fonction affine Seconde : variations et signe

La fonction affine en Seconde modélise une variation constante. Son coefficient directeur mesure l'accroissement de l'image lorsque l'entrée augmente d'une unité, tandis que l'ordonnée à l'origine donne la valeur de départ.

La même expression ax+b permet de lire une droite, d'étudier des variations et de résoudre une inéquation. Le signe de a gouverne le sens de variation, mais le signe de la fonction dépend aussi de son zéro.

Table des Matières

Identifier coefficient directeur et ordonnée à l’origine

Pente et ordonnée à l’origine

Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ . Le réel $a$ est le coefficient directeur et $b=f(0)$ l'ordonnée à l'origine. Si $b=0$ , la fonction est linéaire ; si $a=0$ , elle est constante.

Lire a et b sur la droite représentative

La droite coupe l'axe vertical en $(0;b)$ . Entre deux points, $a$ est le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal. Une pente positive monte vers la droite ; une pente négative descend.

Signe d'une fonction affine autour de sa racine — Pour une pente positive, la fonction affine est négative avant sa racine et positive après elle.

Déduire variations et signe d’une fonction affine

Signe et variations selon $a$

Si $a\gt 0$ , la fonction est croissante ; si $a\lt 0$ , elle est décroissante. Pour $a\neq0$ , son zéro est $-b/a$ . Le signe change à ce zéro selon le signe de a et peut être lu sur la position de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a\quad(x_1\ne x_2).

Déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs

Associer les deux données à des points de coordonnées $(x_1;f(x_1))$ et $(x_2;f(x_2))$ .
Calculer a comme variation des images divisée par variation des entrées.
Utiliser une donnée dans $f(x)=ax+b$ pour déterminer $b$ .
Écrire la formule puis vérifier la seconde donnée.
Déduire variations, zéro et signe seulement après avoir identifié a et b.

Retrouver une tarification affine et son seuil

Un service coûte 23 euros pour 2 heures et 47 euros pour 6 heures. Le prix $P(t)$ est supposé affine.

Le coefficient vaut $\frac{47-23}{6-2}=\frac{24}{4}=6$ euros par heure.
Avec $t=2$ , $23=6\times2+b$ , donc $b=11$ euros.
La formule est $P(t)=6t+11$ .
Pour un budget de 59 euros, $6t+11=59$ donne $t=8$ heures.
Le contrôle $P(6)=47$ confirme la formule.

Démontrer le sens de variation à partir de la différence

La différence $f(v)-f(u)$ révèle la pente

Pour $x_1\lt x_2$ , $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$ . Le facteur $x_2-x_1$ est positif. La différence des images a donc le signe de a : positive si $a\gt 0$ , négative si $a\lt 0$ , nulle si $a=0$ .

Modéliser coût, distance et évolution linéaire

Les fonctions affines décrivent un prix avec forfait, une température convertie ou une position à vitesse constante avec position initiale. Comparer deux offres revient à étudier l'intersection et la position relative de deux droites.

Les différentes déterminations de la formule sont réunies dans le cours complet sur la fonction affine. La lecture du signe prépare les tableaux de signes.

Les notions travaillées correspondent au cadre défini par le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de fonction affine Seconde. Les prolongements signalés servent directement à modéliser coût, distance et évolution linéaire.

Vérifier expression, lecture graphique et zéro

Erreur fréquente : ne pas confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine. Le premier décrit une variation ; la seconde est une valeur obtenue pour $x=0$ .

Contrôle utile : vérifier les unités de a, tester les deux données initiales et comparer le signe de a avec l'inclinaison de la droite.