Fonctions inverse et racine carrée Seconde

Les fonctions inverse et racine carrée en Seconde obligent à commencer par le domaine. L'inverse exclut 0 ; la racine carrée n'accepte que les réels positifs ou nuls. Oublier cette étape peut produire un calcul formel sans sens réel.

Leurs courbes introduisent aussi deux comportements nouveaux : une hyperbole en deux branches pour l'inverse et une courbe qui commence à l'origine pour la racine carrée.

Table des Matières

Déterminer les domaines des fonctions inverse et racine

Deux domaines à respecter

La fonction inverse est définie par $f(x)=\frac1x$ pour $x\neq0$ . La fonction racine carrée est définie par $g(x)=\sqrt x$ pour $x\geq0$ . Ces domaines font partie de la définition et doivent accompagner toute équation ou comparaison.

Interpréter les deux branches de l’hyperbole

La courbe de l'inverse ne coupe aucun axe : $x=0$ est interdit et $\frac1x$ n'est jamais nul. Lorsque $|x|$ grandit, $\frac1x$ se rapproche de 0 sans l'atteindre. La courbe de la racine part de $(0;0)$ et reste dans le premier quadrant.

Domaines des fonctions inverse et racine carrée — La courbe de l'inverse évite les axes, tandis que la racine carrée ne commence qu'à l'origine pour x positif.

Connaître signes, parité et variations

Signes, parité et sens de variation

La fonction inverse est impaire, garde le signe de $x$ et est décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty;0[$ et $]0;+\infty[$ . La fonction racine carrée est positive et croissante sur $[0;+\infty[$ .

\frac1{-x}=-\frac1x,\qquad \sqrt{x^2}=|x|.

Comparer des inverses et des racines dans leur domaine

Écrire le domaine et vérifier que toutes les valeurs comparées y appartiennent.
Repérer l'intervalle de variation pertinent, surtout pour l'inverse qui est coupé en 0.
Appliquer le sens de variation uniquement à des nombres du même intervalle.
Traduire la comparaison des entrées en comparaison des images.
Contrôler le signe et l'ordre de grandeur des résultats.

Comparer sans décimales $1/7$ et $1/5$ , puis $\sqrt7$ et $\sqrt5$

Les nombres 5 et 7 sont positifs. On utilise les variations plutôt que des approximations de calculatrice.

Sur les positifs, la fonction inverse est décroissante.
Comme $5\lt 7$ , on obtient $\frac15\gt \frac17$ .
La fonction racine carrée est croissante sur les positifs.
La même inégalité $5\lt 7$ donne $\sqrt5\lt \sqrt7$ .
Les sens opposés proviennent des variations, pas des symboles de fraction ou de racine seuls.

Justifier la décroissance de l’inverse sur les positifs

Comparer deux inverses positifs

Pour $0\lt a\lt b$ , la différence $\frac1a-\frac1b$ vaut $\frac{b-a}{ab}$ . Le numérateur et le dénominateur sont positifs, donc la différence est positive. Ainsi $\frac1a\gt \frac1b$ : l'ordre est inversé sur les réels positifs.

Résoudre en respectant les contraintes de domaine

Une équation contenant $\frac1x$ impose $x\neq0$ avant toute multiplication. Une équation $\sqrt x=a$ exige $a\geq0$ . Les courbes permettent d'anticiper le nombre de solutions et de vérifier une résolution algébrique.

L'hyperbole et ses propriétés sont détaillées dans la fonction inverse. L'écriture des domaines réactive les intervalles de R.

Le périmètre de cette leçon suit le programme officiel de mathématiques du niveau dans le cadre de fonctions inverse et racine carrée Seconde. Les prolongements signalés servent directement à résoudre en respectant les contraintes de domaine.

Écarter zéro et les radicandes négatifs

Erreur fréquente : la fonction inverse est décroissante sur chacun de ses deux intervalles, mais pas sur $\mathbb R\setminus\{0\}$ pris comme un seul ensemble. Comparer un négatif et un positif demande d'abord leurs signes.

Contrôle utile : annoncer les valeurs interdites avant le calcul et vérifier que chaque solution finale appartient au domaine initial.