Calcul littéral Seconde : identités remarquables et fractions

En calcul littéral, une même expression peut avoir plusieurs formes équivalentes. Développer rend les termes comparables, factoriser met un produit en évidence, et conserver une forme adaptée peut éviter des calculs inutiles. L'objectif n'est donc pas de « changer de forme » au hasard, mais de choisir celle qui répond à la question.

Les équations obtenues par factorisation sont traitées dans le cours d'équations et inéquations en Seconde. Pour s'entraîner à sélectionner une stratégie, consultez les onze exercices corrigés de calcul littéral.

Expression, valeur et domaine de définition

Une expression littérale contient des nombres et des lettres. Remplacer les lettres par des valeurs donne une valeur numérique, à condition que toutes les opérations soient définies.

Pour $A(x)=3x^2-2x+1$, on obtient :

$$A(-2)=3(-2)^2-2(-2)+1=12+4+1=17.$$

Dans une expression fractionnaire, les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites. Par exemple :

$$B(x)=\frac{x+3}{x-2}$$

est définie pour $x\ne2$.

Réduire et développer avec la distributivité

Réduire consiste à regrouper les termes semblables. Ainsi :

$$4x^2-3x+5+2x^2+7x-1=6x^2+4x+4.$$

Pour développer $(2x-3)(x+5)$, chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second :

$$(2x-3)(x+5)=2x^2+10x-3x-15=2x^2+7x-15.$$

Comprendre les trois identités remarquables

Forme factorisée	Forme développée
$(a+b)^2$	$a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2$	$a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)$	$a^2-b^2$

Avec $a=3x$ et $b=2$ :

$$(3x-2)^2=9x^2-12x+4.$$

Factoriser par un facteur commun

Factoriser revient à écrire une somme sous forme de produit. Dans :

$$6x^3-9x^2,$$

les deux termes contiennent $3x^2$. On obtient :

$$6x^3-9x^2=3x^2(2x-3).$$

Le contrôle le plus fiable consiste à redévelopper le résultat.

Reconnaître une identité dans le sens inverse

Les identités remarquables servent aussi à factoriser. Il faut reconnaître les deux carrés et vérifier le terme central :

$$x^2+10x+25=x^2+2\times x\times5+5^2=(x+5)^2,$$ $$9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x-4)(3x+4).$$

Choisir entre forme développée et forme factorisée

Considérons $E(x)=(x-3)(2x+5)$.

• Pour résoudre $E(x)=0$, la forme factorisée donne immédiatement $x=3$ ou $x=-\frac52$.
• Pour identifier les coefficients, on développe : $E(x)=2x^2-x-15$.
• Pour calculer $E(3)$, la forme factorisée révèle directement que le résultat vaut $0$.

Question à se poser : cherche-t-on des zéros, des coefficients, une valeur numérique ou un signe ? La réponse indique souvent la forme à privilégier.

Simplifier une expression fractionnaire sans perdre les conditions

On simplifie des facteurs communs, jamais des termes séparés par une addition. Pour $x\ne-2$ :

$$\frac{(x+2)(x-5)}{x+2}=x-5.$$

La condition $x\ne-2$ doit rester attachée au résultat, car l'expression initiale n'existe pas en $-2$.

En revanche :

$$\frac{x+2}{x}$$

ne se réduit pas en $2$. Pour $x\ne0$, on peut seulement écrire :

$$\frac{x+2}{x}=1+\frac2x.$$

Exemple complet : trois formes pour une même expression

Soit $F(x)=(x+4)^2-(x+4)(2x-1)$.

1. Le facteur $x+4$ est commun : $$F(x)=(x+4)\bigl[(x+4)-(2x-1)\bigr]=(x+4)(5-x).$$
2. La forme développée est : $$F(x)=-x^2+x+20.$$
3. Les zéros se lisent sur la forme factorisée : $x=-4$ ou $x=5$.

Les deux formes sont équivalentes, mais elles ne montrent pas la même information.

Contrôler une transformation algébrique

1. Noter les valeurs interdites avant toute simplification de fraction.
2. Développer une factorisation pour vérifier qu'aucun terme n'a disparu.
3. Tester une valeur simple dans l'expression initiale et dans la forme obtenue.
4. Conserver la forme qui rend la prochaine étape la plus lisible.

La pratique guidée se poursuit avec des exercices de développement, factorisation, fractions et choix de forme.