Volumes et sections 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les volumes et sections en 3ème réunissent pyramide, cône, sphère et boule. Le cours sur les solides de 3ème distingue aire de surface et volume.

Les changements de taille utilisent les lois des agrandissements et réductions. Les résultats exacts en fonction de π\pi sont conservés avant toute approximation.

Reconnaître une section plane

La forme d'une section dépend de l'orientation du plan. Un plan parallèle à une base conserve sa forme, avec des dimensions éventuellement réduites.

Exercice 1 : Section d’un pavé droit

Facile

Un pavé droit mesure 88 cm sur 55 cm sur 1212 cm. On le coupe par un plan parallèle à la face de dimensions 88 cm et 55 cm.

  1. Nommer la forme de la section.
  2. Donner ses dimensions.
  3. Calculer son aire.
Indication

Une section parallèle à une face d'un pavé lui est superposable.

Voir le corrigé
  1. La section est un rectangle.
  2. Ses dimensions sont 88 cm et 55 cm.
  3. Son aire vaut 8×5=40 cm28\times5=40\,\text{cm}^2.

Exercice 2 : Section d’un cône parallèle à la base

Moyen

Un cône de hauteur 1515 cm et de rayon de base 66 cm est coupé par un plan parallèle à sa base, à 55 cm du sommet.

  1. Nommer la forme de la section.
  2. Utiliser une réduction pour calculer son rayon.
  3. Calculer l'aire exacte de la section.
Indication

Le petit cône au-dessus de la section est une réduction du cône initial de coefficient 5/155/15.

Voir le corrigé
  1. La section est un disque.
  2. Son rayon vaut 6×5/15=26\times5/15=2 cm.
  3. Son aire vaut π×22=4π cm2\pi\times2^2=4\pi\,\text{cm}^2.

Exercice 3 : Section d’une sphère

Difficile

Une sphère de rayon 1010 cm est coupée par un plan situé à 66 cm de son centre OO. Le centre du cercle de section est HH.

  1. Expliquer pourquoi OHOH est perpendiculaire au plan de section.
  2. Dans un triangle rectangle, calculer le rayon rr de la section.
  3. Calculer l'aire du disque de section.
  4. Comparer avec la section passant par le centre.
Indication

Pour un point AA du cercle de section, OA=10OA=10, OH=6OH=6 et le triangle OHAOHA est rectangle en HH.

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  1. Le segment joignant le centre de la sphère au centre de la section est normal au plan.
  2. r2=OA2−OH2=100−36=64r^2=OA^2-OH^2=100-36=64, donc r=8r=8 cm.
  3. L'aire vaut 64π cm264\pi\,\text{cm}^2.
  4. Une section centrale aurait pour rayon 1010 cm et aire 100π cm2100\pi\,\text{cm}^2, donc elle serait plus grande.

Calculer le volume d’une pyramide, d’un cône ou d’une boule

Une pyramide ou un cône a pour volume un tiers du produit aire de base fois hauteur. Le volume d'une boule de rayon rr vaut 43πr3\dfrac43\pi r^3.

Exercice 4 : Pyramide à base carrée

Facile

Une pyramide a une base carrée de côté 88 cm et une hauteur de 1515 cm.

  1. Calculer l'aire de la base.
  2. Calculer le volume.
Indication

Ne confondez pas la hauteur de la pyramide avec une arête latérale.

Voir le corrigé
  1. L'aire de base vaut 82=64 cm28^2=64\,\text{cm}^2.
  2. V=13×64×15=320 cm3V=\dfrac13\times64\times15=320\,\text{cm}^3.

Exercice 5 : Cône de révolution

Moyen

Un cône a pour rayon 3,53{,}5 cm et pour hauteur 1212 cm.

  1. Écrire le volume exact.
  2. Simplifier le coefficient devant π\pi.
  3. Donner une valeur au dixième de centimètre cube.
Indication

Le rayon est élevé au carré dans l'aire du disque de base.

Voir le corrigé
  1. V=13π×3,52×12V=\dfrac13\pi\times3{,}5^2\times12.
  2. V=49π cm3V=49\pi\,\text{cm}^3.
  3. V≈153,9 cm3V\approx153{,}9\,\text{cm}^3.

Exercice 6 : Boule et sphère

Moyen

Une boule a un rayon de 66 cm.

  1. Calculer son volume exact.
  2. Donner le volume au centimètre cube.
  3. Calculer l'aire de la sphère qui la délimite.
  4. Expliquer la différence d'unité entre les deux résultats.
Indication

Le volume utilise r3r^3 et une unité cubique ; l'aire utilise 4πr24\pi r^2 et une unité carrée.

Voir le corrigé
  1. V=43π×63=288π cm3V=\dfrac43\pi\times6^3=288\pi\,\text{cm}^3.
  2. V≈905 cm3V\approx905\,\text{cm}^3.
  3. L'aire vaut 4π×62=144π cm24\pi\times6^2=144\pi\,\text{cm}^2.
  4. Le volume mesure l'espace occupé en cm3\text{cm}^3, l'aire mesure la surface en cm2\text{cm}^2.

Décomposer un solide composé

Un solide complexe peut être additionné ou soustrait à partir de solides usuels. Toutes les dimensions doivent être exprimées dans la même unité avant le calcul.

Exercice 7 : Cornet et demi-boule

Moyen

Une glace est formée d'un cône de rayon 33 cm et de hauteur 1010 cm, surmonté d'une demi-boule de même rayon.

  1. Calculer le volume du cône.
  2. Calculer le volume de la demi-boule.
  3. Calculer le volume total exact puis au centimètre cube.
Indication

Le volume d'une demi-boule est la moitié du volume d'une boule complète.

Voir le corrigé
  1. Le cône a pour volume 13π×32×10=30π cm3\dfrac13\pi\times3^2\times10=30\pi\,\text{cm}^3.
  2. La demi-boule a pour volume 12×43π×33=18π cm3\dfrac12\times\dfrac43\pi\times3^3=18\pi\,\text{cm}^3.
  3. Le total vaut 48π cm348\pi\,\text{cm}^3, soit environ 151 cm3151\,\text{cm}^3.

Exercice 8 : Réservoir cylindrique avec toit conique

Difficile

Un réservoir est formé d'un cylindre de rayon 22 m et de hauteur 55 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 1,51{,}5 m.

  1. Calculer le volume du cylindre.
  2. Calculer le volume du cône.
  3. Calculer le volume intérieur total en mètres cubes.
  4. Convertir en litres.
Indication

Un mètre cube correspond à 1 0001\,000 litres.

Voir le corrigé
  1. Le cylindre a pour volume π×22×5=20π m3\pi\times2^2\times5=20\pi\,\text{m}^3.
  2. Le cône a pour volume 13π×22×1,5=2π m3\dfrac13\pi\times2^2\times1{,}5=2\pi\,\text{m}^3.
  3. Le total vaut 22π m3≈69,12 m322\pi\,\text{m}^3\approx69{,}12\,\text{m}^3.
  4. La contenance est d'environ 69 11569\,115 L.

Exercice 9 : Cylindre percé

Difficile

Un cylindre plein de rayon 55 cm et de hauteur 1212 cm est percé dans l'axe par un trou cylindrique de rayon 22 cm traversant toute la hauteur.

  1. Calculer le volume du cylindre initial.
  2. Calculer le volume retiré.
  3. Déterminer le volume restant exact et approché.
Indication

Les deux cylindres ont la même hauteur ; soustrayez leurs aires de base avant de multiplier si vous le souhaitez.

Voir le corrigé
  1. Le volume initial vaut π×52×12=300π cm3\pi\times5^2\times12=300\pi\,\text{cm}^3.
  2. Le trou retire π×22×12=48π cm3\pi\times2^2\times12=48\pi\,\text{cm}^3.
  3. Il reste 252π cm3≈791,7 cm3252\pi\,\text{cm}^3\approx791{,}7\,\text{cm}^3.

Retrouver une dimension et contrôler les unités

Une formule de volume peut devenir une équation. Le résultat doit être positif, cohérent avec le solide, et exprimé dans l'unité de longueur correspondant aux données.

Exercice 10 : Hauteur d’un cône à partir du volume

Moyen

Un cône de rayon 55 cm a un volume de 150π cm3150\pi\,\text{cm}^3.

  1. Écrire l'équation vérifiée par la hauteur hh.
  2. Résoudre cette équation.
  3. Vérifier le volume obtenu.
Indication

Dans V=13πr2hV=\dfrac13\pi r^2h, remplacez rr par 55 et simplifiez π\pi des deux côtés.

Voir le corrigé
  1. 13π×25h=150π\dfrac13\pi\times25h=150\pi.
  2. 25h=45025h=450, donc h=18h=18 cm.
  3. 13π×25×18=150π cm3\dfrac13\pi\times25\times18=150\pi\,\text{cm}^3.

Exercice 11 : Rayon d’une boule

Difficile

Une boule a un volume de 36π cm336\pi\,\text{cm}^3.

  1. Écrire l'équation en r3r^3.
  2. Calculer r3r^3.
  3. En déduire le rayon.
Indication

Multipliez les deux membres par 3/43/4, puis cherchez un cube parfait.

Voir le corrigé
  1. 43πr3=36π\dfrac43\pi r^3=36\pi.
  2. r3=36×34=27r^3=36\times\dfrac34=27.
  3. Comme 33=273^3=27, le rayon vaut 33 cm.

Exercice 12 : Erreur de conversion de volume

Moyen

Une boîte a un volume de 2,4 dm32{,}4\,\text{dm}^3. Un élève affirme que cela vaut 240 cm3240\,\text{cm}^3.

  1. Rappeler la relation entre 11 dm et 11 cm.
  2. En déduire la relation entre 1 dm31\,\text{dm}^3 et 1 cm31\,\text{cm}^3.
  3. Corriger la conversion.
  4. Expliquer l'erreur probable.
Indication

Une conversion de volume élève le facteur de longueur au cube.

Voir le corrigé
  1. 1 dm=10 cm1\,\text{dm}=10\,\text{cm}.
  2. 1 dm3=103 cm3=1 000 cm31\,\text{dm}^3=10^3\,\text{cm}^3=1\,000\,\text{cm}^3.
  3. 2,4 dm3=2 400 cm32{,}4\,\text{dm}^3=2\,400\,\text{cm}^3.
  4. L'élève a probablement multiplié par 100100 au lieu de 1 0001\,000, comme pour une aire et non un volume.
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