Statistiques 3ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de statistiques en 3ème demandent d'organiser des données, de calculer les indicateurs et de choisir une représentation honnête. Le cours sur moyenne, médiane et histogramme rappelle les conventions.

Les fréquences utilisent les méthodes de proportionnalité. Les corrections distinguent valeur exacte, arrondi et estimation graphique afin d'éviter de surinterpréter les données.

Organiser des données et calculer des fréquences

Un effectif compte les observations. Une fréquence rapporte cet effectif au total et peut s'exprimer en décimal, en fraction ou en pourcentage.

Exercice 1 : Construire un tableau d’effectifs

Facile

Voici le nombre de livres lus par 2020 élèves : 2,1,3,0,2,4,1,2,3,2,1,0,5,2,3,1,4,2,3,12,1,3,0,2,4,1,2,3,2,1,0,5,2,3,1,4,2,3,1.

  1. Dresser le tableau des valeurs de 00 à 55 avec leurs effectifs.
  2. Vérifier l'effectif total.
  3. Calculer la fréquence des élèves ayant lu au moins 33 livres.
Indication

Comptez chaque valeur une seule fois, puis additionnez les effectifs de 33, 44 et 55.

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  1. Les effectifs pour 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 sont respectivement 2,5,6,4,2,12,5,6,4,2,1.
  2. 2+5+6+4+2+1=202+5+6+4+2+1=20.
  3. 4+2+1=74+2+1=7 élèves ont lu au moins 33 livres, soit une fréquence de 720=35 %\dfrac7{20}=35\,\%.

Exercice 2 : Du pourcentage à l’angle d’un secteur

Moyen

Dans une enquête de 240240 réponses, 30 %30\,\% choisissent le bus, 25 %25\,\% le vélo, 35 %35\,\% la marche et le reste la voiture.

  1. Calculer le pourcentage correspondant à la voiture.
  2. Déterminer les quatre effectifs.
  3. Calculer l'angle du secteur représentant le vélo dans un diagramme circulaire.
  4. Contrôler la somme des effectifs.
Indication

Un cercle complet représente 100 %100\,\% et mesure 360360 degrés.

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  1. La voiture représente 100−30−25−35=10 %100-30-25-35=10\,\%.
  2. Les effectifs sont 7272, 6060, 8484 et 2424.
  3. L'angle du vélo vaut 0,25×360=900{,}25\times360=90 degrés.
  4. 72+60+84+24=24072+60+84+24=240.

Exercice 3 : Lire des classes dans un histogramme

Moyen

Un histogramme de durées, avec des classes de même largeur, donne les effectifs suivants : [0;10[:4[0;10[ : 4, [10;20[:9[10;20[ : 9, [20;30[:12[20;30[ : 12, [30;40[:5[30;40[ : 5.

  1. Donner l'effectif total.
  2. Identifier la classe modale.
  3. Calculer la fréquence de la classe [20;30[[20;30[.
  4. Expliquer pourquoi on ne peut pas connaître la durée moyenne exacte.
Indication

Une classe donne un intervalle, pas les valeurs individuelles à l'intérieur de cet intervalle.

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  1. L'effectif total est 4+9+12+5=304+9+12+5=30.
  2. La classe modale est [20;30[[20;30[, d'effectif 1212.
  3. Sa fréquence vaut 12/30=40 %12/30=40\,\%.
  4. Les positions exactes des 3030 durées à l'intérieur des classes ne sont pas connues, donc seule une estimation de la moyenne serait possible.

Calculer et interpréter une moyenne

La moyenne partage la somme totale de manière égale. Avec des effectifs, chaque valeur doit être multipliée par le nombre de fois où elle apparaît.

Exercice 4 : Moyenne d’une série brute

Facile

Les temps, en minutes, sont 18,22,17,25,20,19,24,1518,22,17,25,20,19,24,15.

  1. Calculer la somme des temps puis la moyenne.
  2. Interpréter le résultat dans une phrase.
Indication

La moyenne est la somme divisée par le nombre de valeurs, ici 88.

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  1. La somme vaut 160160 minutes, donc la moyenne est 160/8=20160/8=20 minutes.
  2. Si la durée totale était répartie également, chaque trajet durerait 2020 minutes.

Exercice 5 : Moyenne pondérée de notes

Moyen

Une note de 88 apparaît 22 fois, 1111 apparaît 55 fois, 1414 apparaît 44 fois et 1717 apparaît 11 fois.

  1. Calculer l'effectif total.
  2. Écrire la somme pondérée.
  3. Calculer la moyenne au dixième.
Indication

Ne faites pas la moyenne des quatre notes distinctes : elles n'ont pas le même effectif.

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  1. L'effectif total est 2+5+4+1=122+5+4+1=12.
  2. La somme pondérée vaut 8×2+11×5+14×4+17×1=1448\times2+11\times5+14\times4+17\times1=144.
  3. La moyenne vaut 144/12=12144/12=12.

Exercice 6 : Retrouver une valeur manquante

Difficile

La moyenne de 66 nombres est 14,514{,}5. Cinq de ces nombres sont 9,12,15,18,219,12,15,18,21.

  1. Calculer la somme totale imposée par la moyenne.
  2. Calculer la somme des cinq valeurs connues.
  3. Déterminer la sixième valeur.
  4. Vérifier la moyenne.
Indication

Utilisez somme=moyenne×effectif\text{somme}=\text{moyenne}\times\text{effectif}.

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  1. La somme totale vaut 14,5×6=8714{,}5\times6=87.
  2. Les cinq valeurs connues ont pour somme 7575.
  3. La valeur manquante est 87−75=1287-75=12.
  4. (75+12)/6=14,5(75+12)/6=14{,}5.

Déterminer médiane et étendue

La médiane dépend de l'ordre des valeurs et résiste mieux aux valeurs extrêmes que la moyenne. L'étendue mesure l'écart entre le maximum et le minimum.

Exercice 7 : Série d’effectif impair

Facile

Déterminer la médiane et l'étendue de 12,7,15,9,10,18,8,11,1412,7,15,9,10,18,8,11,14.

  1. Ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
  2. Repérer le rang de la médiane.
  3. Calculer l'étendue.
Indication

Avec 99 valeurs, la médiane occupe le cinquième rang.

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  1. La série ordonnée est 7,8,9,10,11,12,14,15,187,8,9,10,11,12,14,15,18.
  2. La médiane est 1111.
  3. L'étendue vaut 18−7=1118-7=11.

Exercice 8 : Série d’effectif pair

Moyen

Les masses ordonnées, en kilogrammes, sont 42,45,45,48,51,53,56,6042,45,45,48,51,53,56,60.

  1. Identifier les deux valeurs centrales.
  2. Choisir une médiane usuelle pour la série.
  3. Vérifier qu'au moins la moitié des valeurs sont de chaque côté de cette médiane.
Indication

Pour un effectif pair, on utilise souvent la moyenne des deux valeurs centrales.

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  1. Les valeurs centrales, de rangs 44 et 55, sont 4848 et 5151.
  2. Une médiane usuelle vaut (48+51)/2=49,5(48+51)/2=49{,}5 kg.
  3. Quatre valeurs sont inférieures ou égales à 49,549{,}5, et quatre sont supérieures ou égales à 49,549{,}5.

Exercice 9 : Effet d’une valeur extrême

Moyen

La série 5,6,7,7,8,9,105,6,7,7,8,9,10 est modifiée en remplaçant 1010 par 4040.

  1. Calculer moyenne, médiane et étendue de la série initiale.
  2. Recalculer ces trois indicateurs après la modification.
  3. Dire quel indicateur de position est le plus stable.
Indication

La valeur modifiée reste au dernier rang, ce qui aide à prévoir l'effet sur la médiane.

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  1. Initialement, la moyenne vaut 52/7≈7,4352/7\approx7{,}43, la médiane 77 et l'étendue 55.
  2. Après modification, la moyenne vaut 82/7≈11,7182/7\approx11{,}71, la médiane reste 77 et l'étendue devient 3535.
  3. La médiane est ici la plus stable face à la valeur extrême.

Comparer des séries et contrôler une conclusion

Deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes. Il faut choisir l'indicateur adapté à la question et conserver les unités.

Exercice 10 : Deux équipes, même moyenne

Moyen

L'équipe A marque 8,9,10,10,11,128,9,10,10,11,12 points ; l'équipe B marque 4,8,10,10,12,164,8,10,10,12,16 points.

  1. Calculer les deux moyennes.
  2. Calculer les deux médianes.
  3. Comparer les étendues.
  4. Choisir l'équipe la plus régulière et justifier.
Indication

La régularité se lit mieux avec la dispersion qu'avec la moyenne seule.

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  1. Les deux sommes valent 6060, donc les deux moyennes valent 1010.
  2. Les deux médianes valent aussi 1010.
  3. L'étendue de A vaut 12−8=412-8=4, celle de B 16−4=1216-4=12.
  4. L'équipe A est plus régulière car ses résultats sont moins dispersés.

Exercice 11 : Estimer une moyenne par classes

Difficile

Des distances sont regroupées : [0;2[[0;2[ km pour 66 personnes, [2;4[[2;4[ pour 1010, [4;6[[4;6[ pour 88, [6;8[[6;8[ pour 44.

  1. Choisir le centre de chaque classe.
  2. Calculer une somme pondérée avec ces centres.
  3. Estimer la distance moyenne.
  4. Expliquer pourquoi le résultat est une estimation.
Indication

Les centres des classes sont 11, 33, 55 et 77 km.

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  1. On choisit 1,3,5,71,3,5,7.
  2. La somme pondérée estimée vaut 1×6+3×10+5×8+7×4=1041\times6+3\times10+5\times8+7\times4=104 km.
  3. L'effectif est 2828, donc la moyenne estimée vaut 104/28≈3,71104/28\approx3{,}71 km.
  4. Les distances exactes à l'intérieur de chaque classe ont été remplacées par le centre de la classe.

Exercice 12 : Une moyenne de moyennes trompeuse

Difficile

Une classe de 1212 élèves a une moyenne de 1515, une autre de 2828 élèves a une moyenne de 1111. Un élève calcule (15+11)/2=13(15+11)/2=13.

  1. Expliquer l'erreur.
  2. Calculer la somme des notes dans chaque classe.
  3. Déterminer la moyenne des 4040 élèves.
Indication

Les deux groupes n'ont pas le même effectif, leurs moyennes ne portent donc pas le même poids.

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  1. La moyenne simple 1313 donnerait le même poids aux deux classes.
  2. Les sommes sont 12×15=18012\times15=180 et 28×11=30828\times11=308.
  3. La moyenne globale est (180+308)/40=12,2(180+308)/40=12{,}2.

Exercice 13 : Modifier toutes les données

Moyen

Une série a pour moyenne 1818, médiane 1717 et étendue 99. On ajoute 44 à chacune de ses valeurs.

  1. Donner la nouvelle moyenne.
  2. Donner la nouvelle médiane.
  3. Déterminer la nouvelle étendue et justifier.
Indication

Ajouter la même constante translate toute la série sans modifier les écarts entre deux valeurs.

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  1. La moyenne devient 18+4=2218+4=22.
  2. La médiane devient 17+4=2117+4=21.
  3. L'étendue reste 99, car (max⁡+4)−(min⁡+4)=max⁡−min⁡(\max+4)-(\min+4)=\max-\min.
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