Équation-produit nul 3ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les équations-produit nul en 3ème entraînent la propriété, mais surtout la transformation préalable d'une équation. Le cours sur le produit nul explique quand la propriété peut être appliquée.

La factorisation peut utiliser un facteur commun ou les identités remarquables. Chaque correction annonce l'ensemble des solutions et contrôle qu'aucune valeur n'a été perdue.

Résoudre un produit déjà factorisé

Si un produit est nul, au moins un facteur est nul ; chaque facteur fournit une équation distincte.

Exercice 1 : Deux facteurs simples

Facile

Résoudre (x−4)(x+7)=0(x-4)(x+7)=0.

  1. Annuler le premier facteur.
  2. Annuler le second.
  3. Donner l'ensemble des solutions.
Indication

Écrivez deux équations reliées par « ou ».

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  1. x−4=0x-4=0, donc x=4x=4.
  2. x+7=0x+7=0, donc x=−7x=-7.
  3. S=−7;4S={-7;4}.

Exercice 2 : Coefficient dans chaque facteur

Moyen

Résoudre (3x+5)(2−7x)=0(3x+5)(2-7x)=0.

  1. Résoudre 3x+5=03x+5=0.
  2. Résoudre 2−7x=02-7x=0.
  3. Vérifier les deux valeurs.
  4. Ordonner les solutions.
Indication

Conservez les fractions exactes.

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  1. x=−5/3x=-5/3.
  2. x=2/7x=2/7.
  3. Chaque valeur annule exactement l'un des facteurs, donc le produit.
  4. S=−5/3;2/7S={-5/3;2/7}.

Exercice 3 : Facteur répété

Moyen

Résoudre (5x−1)2(x+3)=0(5x-1)^2(x+3)=0.

  1. Interpréter le carré comme un facteur répété.
  2. Trouver toutes les solutions.
  3. Dire combien de solutions distinctes existent.
  4. Expliquer pourquoi la répétition ne crée pas une nouvelle valeur.
Indication

(5x−1)2=0(5x-1)^2=0 équivaut à 5x−1=05x-1=0.

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  1. Le facteur 5x−15x-1 apparaît deux fois.
  2. Les solutions sont x=1/5x=1/5 et x=−3x=-3.
  3. Il existe deux solutions distinctes.
  4. Annuler deux copies du même facteur impose la même valeur 1/51/5, pas deux valeurs différentes.

Factoriser avant de résoudre

Une somme n'autorise pas la propriété du produit nul ; il faut d'abord obtenir un seul produit égal à zéro.

Exercice 4 : Facteur commun visible

Facile

Résoudre x(4x−9)+3(4x−9)=0x(4x-9)+3(4x-9)=0.

  1. Repérer le facteur commun.
  2. Factoriser.
  3. Résoudre le produit nul.
Indication

Les deux termes contiennent 4x−94x-9.

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  1. Le facteur commun est 4x−94x-9.
  2. L'équation devient (4x−9)(x+3)=0(4x-9)(x+3)=0.
  3. Les solutions sont x=9/4x=9/4 ou x=−3x=-3.

Exercice 5 : Tout ramener au même membre

Moyen

Résoudre x2+6x=7x+42x^2+6x=7x+42.

  1. Ramener tous les termes à gauche.
  2. Factoriser le trinôme obtenu.
  3. Résoudre.
  4. Vérifier dans l'égalité initiale.
Indication

Après réduction, cherchez deux nombres de produit −42-42 et de somme −1-1.

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  1. x2−x−42=0x^2-x-42=0.
  2. x2−x−42=(x−7)(x+6)x^2-x-42=(x-7)(x+6).
  3. x=7x=7 ou x=−6x=-6.
  4. Pour 77, les deux membres valent 9191 ; pour −6-6, ils valent 00.

Exercice 6 : Différence de carrés

Moyen

Résoudre 9x2−64=09x^2-64=0.

  1. Reconnaître deux carrés.
  2. Factoriser.
  3. Résoudre les deux facteurs.
  4. Donner les solutions exactes.
Indication

9x2=(3x)29x^2=(3x)^2 et 64=8264=8^2.

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  1. Il s'agit d'une différence de carrés.
  2. 9x2−64=(3x−8)(3x+8)9x^2-64=(3x-8)(3x+8).
  3. 3x−8=03x-8=0 ou 3x+8=03x+8=0.
  4. S=−8/3;8/3S={-8/3;8/3}.

Exercice 7 : Carré parfait déplacé

Difficile

Résoudre (2x−3)2=25(2x-3)^2=25.

  1. Écrire une différence égale à zéro.
  2. Factoriser par différence de carrés.
  3. Résoudre le produit.
  4. Comparer avec la méthode 2x−3=52x-3=5 ou 2x−3=−52x-3=-5.
  5. Vérifier.
Indication

Soustrayez 2525 aux deux membres.

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  1. (2x−3)2−25=0(2x-3)^2-25=0.
  2. (2x−8)(2x+2)=0(2x-8)(2x+2)=0.
  3. x=4x=4 ou x=−1x=-1.
  4. Les deux méthodes donnent les mêmes équations linéaires.
  5. Pour ces valeurs, le carré vaut bien 2525.

Détecter les transformations interdites

Une résolution fiable conserve l'équivalence des étapes et vérifie que la propriété est appliquée à un produit complet.

Exercice 8 : Somme nulle mal séparée

Moyen

Un élève résout (x−2)(x+5)+3=0(x-2)(x+5)+3=0 en écrivant x−2=0x-2=0 ou x+5=−3x+5=-3.

  1. Expliquer pourquoi cette séparation est fausse.
  2. Développer l'équation.
  3. Résoudre l'équation obtenue si possible par factorisation.
  4. Tester les deux réponses de l'élève.
Indication

La propriété du produit nul ne s'applique pas à un produit auquel on ajoute 33.

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  1. Le membre de gauche n'est pas un produit égal à zéro.
  2. x2+3x−10+3=0x^2+3x-10+3=0, donc x2+3x−7=0x^2+3x-7=0.
  3. Ce trinôme ne se factorise pas avec des entiers et sort du cadre attendu de la propriété en 3ème ; aucune solution simple n'est obtenue ici.
  4. x=2x=2 donne 33, et x=−8x=-8 donne 1515, donc les réponses proposées sont fausses.

Exercice 9 : Division par l’inconnue

Difficile

Pour résoudre x(x−6)=2xx(x-6)=2x, Lina divise les deux membres par xx et trouve x=8x=8.

  1. Identifier la solution potentiellement perdue.
  2. Ramener tout au même membre.
  3. Factoriser et résoudre.
  4. Vérifier les solutions.
  5. Expliquer quand une division par une expression est risquée.
Indication

Si x=0x=0, la division par xx n'est pas autorisée.

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  1. La valeur x=0x=0 peut être perdue.
  2. x(x−6)−2x=0x(x-6)-2x=0.
  3. x(x−8)=0x(x-8)=0, donc x=0x=0 ou x=8x=8.
  4. Les deux valeurs vérifient l'équation initiale.
  5. Diviser par une expression peut supprimer le cas où cette expression vaut zéro.

Modéliser avec un produit nul

La géométrie ou un programme de calcul peut conduire à une égalité que la factorisation rend résoluble.

Exercice 10 : Aire d’un rectangle

Moyen

Un rectangle a pour dimensions x+2x+2 et x−5x-5, avec x>5x\gt 5. Son aire vaut 1818.

  1. Écrire l'équation.
  2. La ramener à zéro.
  3. Factoriser.
  4. Choisir la solution compatible avec x>5x\gt 5.
Indication

Développez, puis cherchez deux nombres dont le produit vaut −28-28 et la somme −3-3.

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  1. (x+2)(x−5)=18(x+2)(x-5)=18.
  2. x2−3x−28=0x^2-3x-28=0.
  3. (x−7)(x+4)=0(x-7)(x+4)=0.
  4. Les solutions algébriques sont 77 et −4-4, mais seule x=7x=7 respecte x>5x\gt 5.

Exercice 11 : Deux programmes égaux

Difficile

Le programme A renvoie (x−1)2(x-1)^2 et le programme B renvoie toujours 99.

  1. Écrire l'équation d'égalité.
  2. La réduire à zéro.
  3. Factoriser.
  4. Trouver les nombres de départ.
  5. Contrôler les deux programmes.
Indication

Utilisez la différence des carrés (x−1)2−32(x-1)^2-3^2.

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  1. (x−1)2=9(x-1)^2=9.
  2. (x−1)2−9=0(x-1)^2-9=0.
  3. (x−4)(x+2)=0(x-4)(x+2)=0.
  4. Les nombres de départ sont 44 et −2-2.
  5. Dans les deux cas, (x−1)2=9(x-1)^2=9, comme le programme B.

Exercice 12 : Triangle et base variable

Difficile

Un triangle a pour base x+3x+3 cm et hauteur x−1x-1 cm, avec x>1x\gt 1. Son aire vaut 1616 cm².

  1. Écrire l'équation d'aire.
  2. Supprimer le dénominateur 22.
  3. Factoriser l'équation ramenée à zéro.
  4. Résoudre et appliquer la contrainte.
  5. Donner base et hauteur.
Indication

L'équation est ((x+3)(x−1))/2=16((x+3)(x-1))/2=16.

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  1. ((x+3)(x−1))/2=16((x+3)(x-1))/2=16.
  2. (x+3)(x−1)=32(x+3)(x-1)=32.
  3. x2+2x−35=0=(x−5)(x+7)x^2+2x-35=0=(x-5)(x+7).
  4. Les solutions sont 55 et −7-7, mais seule x=5x=5 respecte x>1x\gt 1.
  5. La base vaut 88 cm et la hauteur 44 cm ; l'aire est bien 8×4/2=168 \times4/2=16 cm².
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