Ces exercices corrigés sur les fractions en 3ème demandent de simplifier au bon moment, de maîtriser les signes et de respecter les priorités. Le cours sur les nombres rationnels rassemble les règles nécessaires.
Les derniers problèmes réutilisent la décomposition étudiée en arithmétique de 3ème. L’objectif est d’obtenir une fraction exacte et justifiée, pas seulement une valeur décimale.
Simplifier et reconnaître un nombre rationnel
Une fraction est simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un même diviseur non nul.
Exercice 1 : Réductions raisonnées
Facile
Rendre irréductibles \(\frac{42}{63}\), \(\frac{-54}{72}\), \(\frac{105}{-140}\) et \(\frac{121}{44}\).
- Simplifier les quatre fractions.
- Écrire chaque signe moins devant la fraction.
- Donner le diviseur commun principal utilisé.
Indication
Cherchez le plus grand diviseur commun ou décomposez les deux termes en facteurs simples.
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- \(\frac{42}{63}=\frac23\), \(\frac{-54}{72}=-\frac34\), \(\frac{105}{-140}=-\frac34\) et \(\frac{121}{44}=\frac{11}{4}\).
- Les deux fractions négatives s’écrivent avec un signe moins placé devant.
- Les divisions principales sont respectivement par \(21\), \(18\), \(35\) et \(11\).
Exercice 2 : Écritures équivalentes
Facile
Compléter \(\frac{7}{9}=\frac{\square}{45}\), \(\frac{-6}{14}=\frac{-3}{\square}\) et \(\frac{15}{-25}=\frac{\square}{5}\).
- Trouver les trois nombres et justifier chaque réponse avec le même multiplicateur au numérateur et au dénominateur.
Indication
Repérez le facteur qui transforme un dénominateur en l’autre.
Voir le corrigé
On obtient \(\frac{7}{9}=\frac{35}{45}\), \(\frac{-6}{14}=\frac{-3}{7}\) et \(\frac{15}{-25}=\frac{-3}{5}\). Les facteurs utilisés sont \(5\), \(\frac12\) et \(\frac15\). Dans chaque cas, numérateur et dénominateur subissent la même transformation.
Exercice 3 : Une fausse simplification
Moyen
Luc affirme que \(\frac{18+6}{18}=\frac{1+6}{1}=7\), car il a simplifié les \(18\).
- Expliquer pourquoi sa simplification est interdite.
- Calculer la valeur exacte.
- Donner une transformation valide de la fraction.
Indication
On simplifie des facteurs d’un produit, jamais des termes séparés par une addition.
Voir le corrigé
- Les \(18\) ne sont pas des facteurs communs au numérateur entier et au dénominateur.
- \(\frac{18+6}{18}=\frac{24}{18}=\frac43\).
- On peut factoriser le numérateur : \(\frac{6(3+1)}{6\times3}=\frac43\). Le facteur commun \(6\) peut alors être simplifié.
Multiplier et diviser des fractions
Avant un produit, les simplifications croisées limitent les calculs ; diviser revient à multiplier par l’inverse.
Exercice 4 : Produits avec simplification
Facile
Calculer \(A=\frac{14}{15}\times\frac{25}{21}\) et \(B=-\frac{18}{35}\times\frac{14}{27}\).
- Simplifier avant de multiplier.
- Donner les résultats irréductibles.
- Vérifier le signe de \(B\).
- Comparer la taille de \(A\) à \(1\).
Indication
Dans \(A\), simplifiez \(14\) avec \(21\) et \(25\) avec \(15\).
Voir le corrigé
- \(A=\frac{2}{3}\times\frac{5}{3}=\frac{10}{9}\).
- \(B=-\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}=-\frac{4}{15}\).
- Un seul facteur est négatif, donc \(B<0\).
- \(\frac{10}{9}>1\), ce qui est cohérent car le produit simplifié vaut \(\frac23\times\frac53\).
Exercice 5 : Quotients de rationnels
Moyen
Calculer \(C=\frac{5}{12}\div\frac{25}{18}\), \(D=-\frac{7}{9}\div\frac{14}{-3}\) et \(E=4\div\frac{-10}{3}\).
- Remplacer chaque division par un produit.
- Calculer \(C\).
- Calculer \(D\).
- Calculer \(E\).
- Rendre les trois résultats irréductibles.
Indication
Conservez le premier nombre et multipliez par l’inverse du second. Deux signes négatifs donnent un résultat positif.
Voir le corrigé
- \(C=\frac{5}{12}\times\frac{18}{25}\), \(D=-\frac79\times\frac{-3}{14}\), \(E=4\times\frac3{-10}\).
- \(C=\frac{3}{10}\).
- \(D=\frac16\).
- \(E=-\frac65\).
- Ces trois fractions sont irréductibles.
Exercice 6 : Trouver le nombre manquant
Moyen
Déterminer \(x\) dans \(\frac{3}{8}\times x=\frac{9}{20}\) et \(y\div\frac{-5}{6}=\frac{7}{15}\).
- Calculer \(x\).
- Calculer \(y\).
- Vérifier les deux égalités par substitution.
Indication
Pour isoler le facteur inconnu, divisez par le facteur connu. Pour la seconde égalité, multipliez le quotient par le diviseur.
Voir le corrigé
- \(x=\frac{9}{20}\div\frac38=\frac{9}{20}\times\frac83=\frac65\).
- \(y=\frac7{15}\times\frac{-5}{6}=-\frac7{18}\).
- \(\frac38\times\frac65=\frac9{20}\) et \(-\frac7{18}\div-\frac56=-\frac7{18}\times-\frac65=\frac7{15}\).
Comparer et enchaîner des calculs
Un dénominateur commun, un produit en croix ou une estimation peuvent servir selon les nombres en présence.
Exercice 7 : Comparer sans décimales
Moyen
Comparer \(\frac7{12}\) et \(\frac5{8}\), puis \(-\frac{11}{15}\) et \(-\frac34\).
- Comparer la première paire.
- Comparer la seconde paire.
- Expliquer l’effet du signe moins dans la seconde comparaison.
Indication
Utilisez \(24\) pour la première paire et \(60\) pour la seconde.
Voir le corrigé
- \(\frac7{12}=\frac{14}{24}<\frac{15}{24}=\frac58\).
- \(-\frac{11}{15}=-\frac{44}{60}>-\frac{45}{60}=-\frac34\).
- Parmi deux nombres négatifs, celui dont la distance à zéro est la plus petite est le plus grand.
Exercice 8 : Expression à plusieurs étages
Difficile
Calculer \(F=\left(\frac34-\frac56\right)\div\left(-\frac7{12}\right)\).
- Calculer la différence entre parenthèses.
- Transformer la division.
- Donner le résultat irréductible.
- Contrôler son signe.
Indication
Réduisez d’abord au même dénominateur : \(9/12-10/12\).
Voir le corrigé
- \(\frac34-\frac56=-\frac1{12}\).
- \(F=-\frac1{12}\times-\frac{12}{7}\).
- Donc \(F=\frac17\).
- Le quotient de deux nombres négatifs est positif, ce qui confirme le signe.
Résoudre des problèmes avec des fractions
La fraction doit toujours être reliée à une quantité de référence clairement identifiée.
Exercice 9 : Réservoir en deux étapes
Moyen
Un réservoir est rempli aux \(\frac35\). On ajoute ensuite une quantité égale au \(\frac14\) de sa capacité totale.
- Quelle fraction du réservoir est alors remplie ?
- Le réservoir déborde-t-il ?
Indication
Les deux fractions portent sur la même capacité totale, donc elles s’additionnent.
Voir le corrigé
\(\frac35+\frac14=\frac{12}{20}+\frac5{20}=\frac{17}{20}\). Le réservoir est rempli aux \(\frac{17}{20}\), soit \(85\%\). Comme \(\frac{17}{20}<1\), il ne déborde pas.
Exercice 10 : Partage d’une recette
Moyen
Une recette pour \(6\) personnes exige \(\frac34\) kg de farine. On prépare \(\frac53\) fois cette recette.
- Pour combien de personnes cuisine-t-on ?
- Calculer la masse de farine.
- Exprimer cette masse en grammes.
Indication
Multiplier une recette par \(\frac53\) multiplie toutes ses quantités et le nombre de portions par le même facteur.
Voir le corrigé
- \(6\times\frac53=10\) personnes.
- \(\frac34\times\frac53=\frac54\) kg.
- \(\frac54\) kg vaut \(1{,}25\) kg, donc \(1\,250\) g.
Exercice 11 : Trajet fractionné
Difficile
Le matin, Inès parcourt \(\frac27\) d’un itinéraire. L’après-midi, elle parcourt les \(\frac35\) de la distance restante. Il reste alors \(12\) km.
- Exprimer la fraction restante après le matin.
- Exprimer la fraction parcourue l’après-midi par rapport au trajet total.
- Déterminer la fraction finale restante.
- Calculer la longueur totale de l’itinéraire.
- Vérifier en calculant les distances des deux étapes.
Indication
Après le matin, il reste \(1-\frac27\). L’après-midi retire \(\frac35\) de ce reste, donc il en reste \(\frac25\).
Voir le corrigé
- Il reste \(\frac57\).
- L’après-midi représente \(\frac35\times\frac57=\frac37\) du total.
- La part restante vaut \(\frac57-\frac37=\frac27\), ou \(\frac25\times\frac57=\frac27\).
- Si \(\frac27\) vaut \(12\) km, le total vaut \(12\times\frac72=42\) km.
- Le matin : \(12\) km ; l’après-midi : \(\frac37\times42=18\) km ; il reste \(42-12-18=12\) km.
Synthèse avec priorités
Une seule expression peut exiger un dénominateur commun, un quotient et une simplification finale.
Exercice 12 : Expression rationnelle à contrôler
Difficile
On pose \(A=(3/4-5/6) \div (7/9+1/6)\).
- Calculer séparément chaque parenthèse.
- Effectuer le quotient sans passer aux décimaux.
- Donner la fraction irréductible.
- Contrôler le signe et l’ordre de grandeur.
Indication
La première parenthèse est négative et la seconde positive ; le résultat doit être négatif.
Voir le corrigé
- \(3/4-5/6=-1/12\) et \(7/9+1/6=17/18\).
- \(A=-1/12 \times 18/17=-18/204\).
- \(A=-3/34\).
- Le signe est négatif et (|A|<1), ce qui concorde avec les deux parenthèses.