Ces exercices corrigés d’arithmétique en 3ème entraînent les critères de divisibilité, la décomposition en facteurs premiers et la simplification de fractions. Le cours d’arithmétique de 3ème fixe les méthodes et le vocabulaire.
La série mêle calcul direct, justification et problèmes de groupements. Une révision sur les nombres premiers permet de retrouver rapidement les facteurs utiles sans remplacer le raisonnement.
Utiliser les critères de divisibilité
Le dernier chiffre, les deux derniers chiffres ou la somme des chiffres donnent des tests différents selon le diviseur.
Exercice 1 : Choisir le bon critère
Facile
Pour chacun des nombres \(4\,572\), \(8\,235\), \(19\,440\) et \(7\,119\), étudier la divisibilité par \(2\), \(3\), \(5\), \(9\) et \(10\).
- Construire un tableau des résultats.
- Justifier au moins un oui et un non pour chaque critère.
- Repérer le nombre divisible par le plus de nombres de la liste.
Indication
Utilisez le chiffre des unités pour \(2\), \(5\) et \(10\), puis la somme des chiffres pour \(3\) et \(9\).
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\(4\,572\) est divisible par \(2\), \(3\) et \(9\) ; \(8\,235\) par \(3\) et \(5\) ; \(19\,440\) par les cinq nombres ; \(7\,119\) par \(3\) et \(9\). Par exemple, \(1+9+4+4+0=18\), et \(19\,440\) se termine par \(0\), ce qui justifie ses cinq réponses positives. C’est donc le nombre le plus divisible de la liste.
Exercice 2 : Chiffres manquants
Moyen
On considère le nombre \(53\square4\).
- Trouver les chiffres qui le rendent divisible par \(3\).
- Trouver ceux qui le rendent divisible par \(9\).
- Peut-il être divisible par \(5\) ?
- Parmi les solutions divisibles par \(9\), lesquelles sont divisibles par \(4\) ?
Indication
La somme des chiffres vaut \(12+\square\). Pour \(4\), observez les deux derniers chiffres.
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- Il faut que \(12+x\) soit multiple de \(3\), donc \(x\in\{0,3,6,9\}\).
- Il faut \(12+x=18\), donc \(x=6\).
- Non, car le chiffre des unités est \(4\).
- Avec \(x=6\), les deux derniers chiffres sont \(64\), divisible par \(4\). Le nombre \(5\,364\) convient.
Exercice 3 : Une règle inventée
Moyen
Eva affirme : « Tout nombre divisible par \(3\) et par \(2\) est divisible par \(5\). »
- Dire si l’affirmation est vraie.
- Donner un contre-exemple.
- Énoncer une conclusion correcte sur un nombre divisible par \(2\) et \(3\).
Indication
Cherchez un petit multiple commun de \(2\) et de \(3\) qui ne se termine ni par \(0\) ni par \(5\).
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- L’affirmation est fausse.
- \(6\) est divisible par \(2\) et par \(3\), mais pas par \(5\).
- Un nombre divisible par \(2\) et par \(3\) est divisible par \(6\), car \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux.
Reconnaître et décomposer des nombres premiers
Pour tester si un nombre est premier, il suffit d’essayer les diviseurs premiers ne dépassant pas sa racine carrée.
Exercice 4 : Premier ou composé
Facile
Étudier les nombres \(29\), \(51\), \(77\), \(83\) et \(91\).
- Dire lesquels sont premiers.
- Pour chaque nombre composé, donner une factorisation.
- Justifier pourquoi les tests effectués suffisent pour \(83\).
Indication
Testez \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\). Comme \(9^2>83\), aucun diviseur premier plus grand n’est nécessaire pour \(83\).
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- \(29\) et \(83\) sont premiers.
- \(51=3\times17\), \(77=7\times11\) et \(91=7\times13\).
- Pour \(83\), on teste les nombres premiers inférieurs à \(\sqrt{83}<10\) : \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\). Aucun ne divise \(83\), donc il est premier.
Exercice 5 : Décompositions complètes
Moyen
Décomposer \(360\), \(504\) et \(1\,155\) en produits de facteurs premiers.
- Décomposer \(360\).
- Décomposer \(504\).
- Décomposer \(1\,155\).
- Vérifier chaque produit.
Indication
Divisez successivement par les plus petits nombres premiers possibles jusqu’à obtenir \(1\).
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- \(360=2^3\times3^2\times5\).
- \(504=2^3\times3^2\times7\).
- \(1\,155=3\times5\times7\times11\).
- Les recompositions donnent bien \(8\times9\times5=360\), \(8\times9\times7=504\) et \(3\times5\times7\times11=1\,155\).
Exercice 6 : Retrouver un nombre
Difficile
Un entier \(N\) a pour décomposition \(N=2^3\times3\times5^2\).
- Calculer \(N\).
- Dire si \(N\) est divisible par \(8\), \(9\), \(15\) et \(40\).
- Déterminer le plus petit entier par lequel multiplier \(N\) pour obtenir un carré parfait.
- Donner la décomposition du carré obtenu.
Indication
Un diviseur doit utiliser des exposants inférieurs ou égaux à ceux de \(N\). Pour un carré parfait, tous les exposants doivent être pairs.
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- \(N=8\times3\times25=600\).
- Il est divisible par \(8\), \(15\) et \(40\), mais pas par \(9\), car il ne contient qu’un facteur \(3\).
- Il faut multiplier par \(2\times3=6\) afin de rendre pairs les exposants de \(2\) et \(3\).
- \(600\times6=2^4\times3^2\times5^2=3\,600=60^2\).
Simplifier grâce aux facteurs premiers
La décomposition révèle les facteurs communs et évite des essais successifs incomplets.
Exercice 7 : Fractions irréductibles
Moyen
Rendre irréductibles \(\frac{360}{504}\), \(\frac{1\,155}{770}\) et \(\frac{675}{945}\).
- Simplifier la première fraction.
- Simplifier la deuxième.
- Simplifier la troisième.
- Indiquer le facteur commun supprimé dans chaque cas.
- Vérifier qu’aucun facteur premier ne reste commun.
Indication
Comparez les décompositions premières du numérateur et du dénominateur.
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- \(\frac{360}{504}=\frac57\), après division par \(72\).
- \(\frac{1\,155}{770}=\frac32\), après division par \(385\).
- \(\frac{675}{945}=\frac57\), après division par \(135\).
- Les facteurs supprimés sont \(72\), \(385\) et \(135\).
- Les couples \(5,7\) et \(3,2\) n’ont aucun facteur premier commun.
Exercice 8 : Le plus petit dénominateur commun
Difficile
On veut additionner \(\frac5{84}\) et \(\frac7{90}\).
- Décomposer \(84\) et \(90\).
- Déterminer leur plus petit multiple commun.
- Mettre les fractions au même dénominateur.
- Effectuer la somme et simplifier.
Indication
Pour le plus petit multiple commun, retenez chaque facteur premier avec son exposant maximal.
Voir le corrigé
- \(84=2^2\times3\times7\) et \(90=2\times3^2\times5\).
- Le plus petit multiple commun vaut \(2^2\times3^2\times5\times7=1\,260\).
- \(\frac5{84}=\frac{75}{1\,260}\) et \(\frac7{90}=\frac{98}{1\,260}\).
- La somme vaut \(\frac{173}{1\,260}\), irréductible puisque \(173\) est premier et ne divise pas \(1\,260\).
Résoudre des problèmes de partage
Les diviseurs communs servent à créer des groupes identiques sans reste et à optimiser leur nombre.
Exercice 9 : Lots identiques
Moyen
Une association dispose de \(180\) cahiers et \(252\) stylos. Elle veut former le plus grand nombre de lots identiques en utilisant tout le matériel.
- Décomposer les deux quantités.
- Déterminer le nombre maximal de lots.
- Donner le contenu d’un lot.
Indication
Le nombre de lots doit diviser les deux quantités ; cherchez leur plus grand diviseur commun.
Voir le corrigé
- \(180=2^2\times3^2\times5\) et \(252=2^2\times3^2\times7\).
- Le plus grand diviseur commun vaut \(2^2\times3^2=36\), donc on forme \(36\) lots.
- Chaque lot contient \(180/36=5\) cahiers et \(252/36=7\) stylos.
Exercice 10 : Carrelage sans découpe
Difficile
Une terrasse rectangulaire mesure \(420\) cm sur \(588\) cm. On veut la couvrir de carreaux carrés identiques, les plus grands possibles, sans découpe.
- Expliquer pourquoi le côté du carreau doit diviser les deux dimensions.
- Décomposer \(420\) et \(588\).
- Calculer le côté maximal d’un carreau.
- Déterminer le nombre de carreaux sur chaque côté.
- Calculer le nombre total de carreaux.
Indication
Le côté maximal est le plus grand diviseur commun des deux dimensions.
Voir le corrigé
- Un nombre entier de carreaux doit tenir dans chaque dimension, donc leur côté divise \(420\) et \(588\).
- \(420=2^2\times3\times5\times7\) et \(588=2^2\times3\times7^2\).
- Le plus grand facteur commun est \(2^2\times3\times7=84\), donc le côté vaut \(84\) cm.
- Il faut \(420/84=5\) carreaux et \(588/84=7\) carreaux.
- Le total est \(5\times7=35\) carreaux.
Mobiliser plusieurs propriétés dans un problème
Ces situations finales imposent de choisir les facteurs utiles, puis d’interpréter le quotient obtenu.
Exercice 11 : Code divisible à trois contraintes
Difficile
Un entier de quatre chiffres s’écrit \(42a6\). On veut qu’il soit divisible par \(4\), par \(9\) et par \(11\).
- Déterminer les chiffres possibles grâce à la divisibilité par \(9\).
- Tester ensuite la divisibilité par \(11\).
- Conclure sur l’existence d’un tel code.
- Expliquer pourquoi le critère de \(4\) n’élimine aucun candidat restant.
Indication
Traitez les critères dans l’ordre qui réduit le plus vite le nombre de valeurs de \(a\).
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- \(4+2+a+6=12+a\) doit être multiple de \(9\), donc \(a=6\).
- Pour \(4266\), la différence \((4+6)-(2+6)=2\) n’est pas multiple de \(11\).
- Aucun chiffre ne convient aux trois contraintes.
- Les deux derniers chiffres sont \(a6\). Avec le seul candidat \(66\), le nombre est bien divisible par \(4\), mais le critère de \(11\) échoue.
Exercice 12 : Répartir des balises
Moyen
Une association possède \(168\) balises rouges et \(252\) balises blanches. Chaque lot doit être identique et utiliser toutes les balises.
- Décomposer les deux effectifs en facteurs premiers.
- Trouver le nombre maximal de lots.
- Donner la composition d’un lot.
Indication
Le nombre maximal de lots est le plus grand produit de facteurs communs.
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- \(168=2^3\times3\times7\) et \(252=2^2\times3^2\times7\).
- Le facteur commun maximal vaut \(2^2\times3\times7=84\), donc on prépare \(84\) lots.
- Chaque lot contient \(168/84=2\) balises rouges et \(252/84=3\) balises blanches.
Exercice 13 : Affirmation sur une fraction
Difficile
On affirme que pour tout entier naturel \(n\), la fraction \(\dfrac{6n+3}{4n+2}\) est irréductible.
- Factoriser numérateur et dénominateur.
- Décider si l’affirmation est vraie.
- Donner la forme irréductible lorsque \(n=5\).
- Rédiger un contre-exemple ou une preuve générale.
Indication
Cherchez un facteur visible dans chacune des deux expressions.
Voir le corrigé
- \(6n+3=3(2n+1)\) et \(4n+2=2(2n+1)\).
- L’affirmation est fausse : le facteur \(2n+1\) est commun.
- Pour \(n=5\), la fraction vaut \(33/22=3/2\).
- Pour tout \(n\), \(2n+1>0\), donc la fraction se simplifie toujours en \(3/2\). Il ne s’agit pas seulement d’un contre-exemple.