Triangles semblables 3ème : critères et calculs

Deux triangles semblables en 3ème ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille ni la même orientation. Leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés correspondants sont proportionnels.

La difficulté principale est d'associer les bons sommets. Une figure tournée peut tromper l'œil ; les mesures d'angles et l'ordre d'écriture des noms fournissent une correspondance fiable.

Table des Matières

Définition de deux triangles semblables

Triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux. Leurs côtés opposés à des angles égaux sont alors correspondants et proportionnels.

Si $\widehat A=\widehat D$ , $\widehat B=\widehat E$ et $\widehat C=\widehat F$ , on écrit les triangles dans l'ordre $ABC$ et $DEF$ . Les côtés correspondants sont alors $AB$ et $DE$ , $BC$ et $EF$ , $AC$ et $DF$ .

Deux angles égaux suffisent

Critère angulaire

Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les triangles sont semblables. Le troisième angle est automatiquement égal car la somme des angles d'un triangle vaut 180°.

180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ.

Ce critère est particulièrement utile dans les configurations avec des droites parallèles, des angles alternes-internes ou deux triangles rectangles partageant un autre angle.

Associer les sommets sans se fier à la position

On construit une table d'angles. Le plus grand angle correspond au plus grand angle, l'angle droit à l'angle droit, et ainsi de suite. On écrit ensuite les noms dans le même ordre.

Triangle ABC	$\widehat A=40^\circ$	$\widehat B=65^\circ$	$\widehat C=75^\circ$
Triangle RST	$\widehat S=40^\circ$	$\widehat T=65^\circ$	$\widehat R=75^\circ$

L'ordre correspondant est donc $ABC\leftrightarrow STR$ . On en déduit $AB\leftrightarrow ST$ , $BC\leftrightarrow TR$ et $AC\leftrightarrow SR$ .

Erreur fréquente : écrire les rapports selon la position visuelle des côtés peut associer un petit côté à un grand côté. Les angles décident de la correspondance.

Écrire les rapports de côtés correspondants

Proportionnalité des côtés

Pour deux triangles semblables $ABC$ et $DEF$ écrits dans l'ordre correspondant, $\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=k$ .

\frac{DE}{AB}=\frac{12}{8}=1,5 \quad\Longrightarrow\quad EF=1,5\times BC.

Le même sens doit être conservé dans tous les rapports : image sur initial ou grand sur petit. Mélanger les sens produit des égalités incohérentes.

Calculer une longueur inconnue

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables dans cet ordre. On connaît $AB=6$ , $BC=9$ , $DE=10$ et on cherche $EF$ . Le rapport du second au premier vaut $10/6=5/3$ .

EF=\frac53\times9=15.

Le contrôle d'ordre de grandeur confirme le résultat : le triangle DEF est plus grand, donc son côté correspondant doit dépasser 9.

Rapports de périmètres et d’aires

Effets du rapport de similitude

Si les longueurs sont multipliées par $k\gt 0$ , les périmètres sont multipliés par $k$ et les aires par $k^2$ .

\mathcal A'=1,5^2\mathcal A=2,25\mathcal A.

Cette propriété rejoint le cours sur les agrandissements et réductions. Elle permet aussi de retrouver $k$ à partir du rapport des aires en prenant une racine carrée positive.

Utiliser les triangles semblables dans une figure complexe

Dans un triangle $ABC$ , les points $M$ et $N$ appartiennent respectivement à $[AB]$ et $[AC]$ , avec $(MN)\parallel(BC)$ . Les angles correspondants créés par les parallèles montrent que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.

On peut alors établir les rapports $AM/AB=AN/AC=MN/BC$ . Cette lecture donne un sens géométrique au théorème de Thalès, qui formalise précisément cette configuration.

Repérer deux paires d'angles égaux.
Écrire les triangles dans l'ordre correspondant.
Choisir le rapport contenant la longueur cherchée.
Vérifier taille et unité du résultat.

Mesurer une hauteur avec une ombre

Au même instant, un bâton vertical de 1,2 m projette une ombre de 0,8 m, tandis qu'un arbre projette une ombre de 7,4 m. Les rayons du soleil sont parallèles et les deux triangles sont rectangles ; ils ont donc deux angles égaux et sont semblables.

\frac{h}{7,4}=\frac{1,2}{0,8} \Longrightarrow h=11,1\text{ m}.

La proportion associe hauteurs et ombres correspondantes. Mesurer les ombres au même moment est indispensable, car l'angle des rayons solaires change au cours de la journée.

Le résultat dépasse la longueur de l'ombre, ce qui est cohérent puisque le rapport du bâton à son ombre vaut 1,5.

Le cas de triangles rectangles

Deux triangles rectangles sont semblables dès qu'ils possèdent un autre angle aigu égal. Le troisième angle est alors égal lui aussi. Cette propriété intervient dans les ombres, les pentes et les constructions de hauteur.

Deux triangles rectangles ne sont pas automatiquement semblables : leurs angles aigus peuvent différer. Connaître seulement l'angle droit ne fournit qu'une paire d'angles égaux, pas deux.

On peut aussi vérifier la proportionnalité des côtés en conservant leur correspondance. Une égalité de rapports obtenue avec des côtés mal associés ne prouve rien sur la forme.

Erreur fréquente : un rapport égal sur une seule paire de côtés ne suffit pas non plus à prouver la similitude sans autre information.

Triangles semblables 3ème : l’essentiel à retenir

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles correspondent. Cette information fixe l'ordre des sommets et rend les côtés proportionnels. Le rapport de similitude agit sur les longueurs et périmètres, tandis que son carré agit sur les aires.

Cette démarche suit les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et prépare une lecture plus sûre des configurations de Thalès et de trigonométrie.