Triangles semblables 3ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les triangles semblables en 3ème commencent par la correspondance des angles, puis utilisent le même rapport pour les côtés homologues. Le cours sur les triangles semblables détaille les critères.

Certaines configurations sont aussi décrites par le théorème de Thalès. Ici, la méthode reste valable dès que l'égalité des angles est établie, même sans droites parallèles données.

Table des Matières

Reconnaître et ordonner les sommets

L'ordre d'écriture doit faire correspondre les angles égaux ; il fixe ensuite les côtés homologues.

Exercice 1 : Angles de deux triangles

Facile

Dans $ABC$ , les angles valent $42^\circ$ , $63^\circ$ et $75^\circ$ . Dans $DEF$ , on a $D=75^\circ$ , $E=42^\circ$ et $F=63^\circ$ .

Justifier que les triangles sont semblables.
Écrire une égalité ordonnée des triangles.
Donner les côtés homologues.

Indication

Associez les sommets portant le même angle.

Voir le corrigé

Les trois angles de l'un sont égaux aux trois angles de l'autre.
On peut écrire $ABC \sim EFD$ .
$AB$ correspond à $EF$ , $BC$ à $FD$ et $AC$ à $ED$ .

Exercice 2 : Deux angles suffisent

Moyen

Deux triangles vérifient $A=48^\circ$ , $B=71^\circ$ , $R=71^\circ$ et $S=61^\circ$ .

Calculer le troisième angle de $ABC$ .
Trouver l'angle restant du second triangle.
Démontrer la similitude.
Proposer l'ordre des sommets.
Expliquer pourquoi un seul angle commun ne suffirait pas.

Indication

La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ .

Voir le corrigé

$C=180-48-71=61^\circ$ .
Le troisième angle du second triangle vaut $48^\circ$ .
Deux angles correspondants sont égaux, donc les triangles sont semblables.
Si le second triangle est $QRS$ avec $Q=48^\circ$ , alors $ABC \sim QRS$ .
Un seul angle commun laisse libres les deux autres et ne détermine pas la forme.

Calculer des longueurs homologues

Le rapport doit toujours comparer les côtés placés en face d'angles correspondants.

Exercice 3 : Rapport d’agrandissement

Facile

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables avec $AB=6$ , $BC=8$ , $AC=10$ , et $DE=9$ homologue à $AB$ .

Calculer le rapport du premier vers le second.
Calculer $EF$ homologue à $BC$ .
Calculer $DF$ .
Contrôler le plus grand côté.

Indication

Le rapport vaut $DE/AB$ .

Voir le corrigé

$k=9/6=1{,}5$ .
$EF=8 \times1{,}5=12$ .
$DF=10 \times1{,}5=15$ .
$DF$ est bien le plus grand côté comme $AC$ dans le premier triangle.

Exercice 4 : Réduction avec fractions

Moyen

Deux triangles semblables ont un rapport du grand vers le petit égal à $5/3$ . Dans le grand, deux côtés homologues mesurent $12{,}5$ cm et $18$ cm.

Donner le rapport du petit vers le grand.
Calculer les deux côtés du petit triangle.
Vérifier le retour au grand triangle.
Donner les valeurs exactes.

Indication

Pour réduire, multipliez par $3/5$ .

Voir le corrigé

Le rapport inverse vaut $3/5$ .
Les côtés mesurent $12{,}5 \times3/5=7{,}5$ cm et $18 \times3/5=10{,}8$ cm.
$7{,}5 \times5/3=12{,}5$ et $10{,}8 \times5/3=18$ .
Les écritures décimales sont exactes ici.

Exercice 5 : Correspondance erronée

Difficile

On sait $ABC \sim DEF$ , avec $AB=7$ , $BC=9$ , $AC=11$ , $DE=14$ et $EF=18$ . Un élève affirme que $DF=22{,}5$ .

Écrire les correspondances données par l'ordre.
Calculer le rapport.
Déterminer $DF$ .
Évaluer l'affirmation.
Identifier une possible origine de l'erreur.

Indication

Dans l'écriture ordonnée, $A$ correspond à $D$ , $B$ à $E$ , $C$ à $F$ .

Voir le corrigé

$AB/DE=BC/EF=AC/DF$ .
Le rapport du premier au second vaut $1/2$ .
$DF=2 \times11=22$ .
L'affirmation $22{,}5$ est fausse.
L'élève a peut-être utilisé $18/8$ ou arrondi un rapport au lieu d'utiliser les côtés homologues exacts.

Relier périmètres et aires

Les périmètres sont multipliés par $k$ , tandis que les aires sont multipliées par $k^2$ .

Exercice 6 : Périmètre image

Moyen

Deux triangles semblables ont des périmètres $24$ cm et $42$ cm. Un côté du premier mesure $9$ cm.

Calculer le rapport du premier au second.
Calculer le côté homologue.
Expliquer pourquoi les périmètres utilisent le même rapport.

Indication

Chaque côté est multiplié par la même valeur, donc leur somme aussi.

Voir le corrigé

$k=42/24=7/4$ .
Le côté homologue mesure $9 \times7/4=15{,}75$ cm.
La somme des trois côtés est multipliée terme à terme par $k$ , donc le périmètre l'est également.

Exercice 7 : Retrouver un rapport par les aires

Difficile

Deux triangles semblables ont des aires $54$ cm² et $150$ cm².

Calculer le rapport des aires.
En déduire le rapport des longueurs.
Calculer l'image d'un côté de $7{,}2$ cm du petit triangle.
Vérifier le sens du rapport.

Indication

Le rapport des longueurs est la racine carrée du rapport des aires.

Voir le corrigé

$150/54=25/9$ .
$k=\sqrt{25/9}=5/3$ .
Le côté image vaut $7{,}2 \times5/3=12$ cm.
L'aire et la longueur augmentent, donc le rapport choisi est supérieur à $1$ , ce qui est cohérent.

Démontrer et résoudre un problème

Une preuve de similitude précède tout tableau de rapports ; les mesures seules ne doivent pas être supposées proportionnelles.

Exercice 8 : Triangles formés par deux droites

Moyen

Deux droites se coupent en $O$ . Les points (A,C) sont sur la première et (B,D) sur la seconde. On sait $AB \parallel CD$ .

Identifier deux angles égaux grâce aux parallèles.
Identifier les angles opposés par le sommet.
Démontrer la similitude de $OAB$ et $OCD$ .
Écrire un rapport correct.

Indication

Les angles alternes-internes ou correspondants proviennent des droites parallèles.

Voir le corrigé

Par exemple, $OAB=OCD$ grâce à $AB \parallel CD$ .
Les angles en $O$ sont opposés par le sommet, donc égaux.
Deux angles égaux suffisent : les triangles sont semblables.
On peut écrire $OA/OC=OB/OD=AB/CD$ .

Exercice 9 : Ombre d’un lampadaire

Moyen

Au même instant, une personne de $1{,}65$ m projette une ombre de $1{,}1$ m. Un lampadaire projette une ombre de $4{,}8$ m.

Justifier la similitude des triangles.
Écrire le rapport utile.
Calculer la hauteur du lampadaire.
Préciser l'hypothèse physique.

Indication

Les rayons du soleil sont considérés parallèles et le sol horizontal.

Voir le corrigé

Les deux triangles sont rectangles et partagent le même angle formé par les rayons solaires ; ils sont semblables.
$h/4{,}8=1{,}65/1{,}1$ .
$h=4{,}8 \times1{,}5=7{,}2$ m.
On suppose les rayons parallèles et les objets verticaux sur le même plan horizontal.

Exercice 10 : Données incompatibles

Difficile

On affirme que deux triangles sont semblables. Les côtés du premier sont $5,7,9$ , ceux du second $10,14,19$ .

Trier les côtés par ordre croissant.
Calculer les trois rapports homologues naturels.
Décider si les données sont compatibles.
Corriger une longueur du second triangle.
Expliquer pourquoi deux rapports égaux ne suffisent pas ici.

Indication

Le plus petit côté doit correspondre au plus petit, et ainsi de suite.

Voir le corrigé

Les listes sont déjà ordonnées.
Les rapports valent $2$ , $2$ et $19/9$ .
Ils ne sont pas tous égaux, donc les triangles ne sont pas semblables.
La troisième longueur devrait être $18$ pour un rapport $2$ .
Trois longueurs sont données ; la troisième doit respecter le même coefficient pour conserver toute la forme.