Agrandissement réduction 3ème : aires et volumes

Un agrandissement ou une réduction en 3ème conserve la forme et multiplie toutes les longueurs par un même rapport positif $k$ . Les angles restent égaux, mais les aires et les volumes ne suivent pas le même facteur.

Le passage de $k$ à $k^2$ puis $k^3$ vient du nombre de dimensions multipliées. Cette lecture évite de mémoriser trois résultats sans comprendre pourquoi une maquette deux fois plus longue occupe huit fois plus de volume.

Table des Matières

Définir le rapport d’agrandissement ou de réduction

Rapport d’échelle

Dans deux figures de même forme, le rapport $k=\frac{\text{longueur image}}{\text{longueur initiale}}$ est commun à toutes les longueurs correspondantes. Si $k\gt 1$ , il s'agit d'un agrandissement ; si $0\lt k\lt 1$ , d'une réduction.

Deux rectangles semblables illustrant les effets d'une échelle — Lorsque les deux dimensions sont multipliées par k, l'aire est multipliée par k au carré.

Un rapport d'échelle est positif. Une homothétie peut avoir un rapport signé qui indique aussi le côté du centre ; pour les longueurs, on utilise alors sa distance à zéro.

Calculer des longueurs correspondantes

Un triangle de côtés 4 cm, 6 cm et 7 cm est agrandi avec $k=1,5$ . Les côtés de l'image mesurent 6 cm, 9 cm et 10,5 cm. Tous les rapports image sur initial doivent être égaux.

7\text{ cm}\times1,5=10,5\text{ cm}.

Périmètres

Comme un périmètre est une somme de longueurs, il est lui aussi multiplié par $k$ .

Erreur fréquente : ajouter le même nombre à toutes les longueurs ne conserve pas la forme en général. Une échelle agit par multiplication.

Comprendre pourquoi les aires sont multipliées par k carré

Un rectangle de dimensions $L$ et $l$ possède l'aire $Ll$ . Après une transformation de rapport $k$ , ses dimensions deviennent $kL$ et $kl$ , donc l'aire devient $k^2Ll$ .

Effet sur les aires

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k\gt 0$ , les aires sont multipliées par $k^2$ .

A'=0,4^2A=0,16A.

Une réduction de 60 % sur les longueurs conserve 40 % de chaque longueur, mais seulement 16 % de l'aire. Le taux sur l'aire ne se lit donc pas directement sur le rapport de longueur.

Comprendre pourquoi les volumes sont multipliés par k cube

Un volume combine trois dimensions. Si longueur, largeur et hauteur sont multipliées par $k$ , leur produit est multiplié par $k^3$ .

Effet sur les volumes

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k\gt 0$ , les volumes sont multipliés par $k^3$ .

V'=2^3V=8V.

Une sculpture dont toutes les dimensions doublent ne demande pas deux fois plus de matière, mais huit fois plus si la forme et la densité sont conservées.

Retrouver le rapport à partir d’une aire ou d’un volume

Si l'aire image vaut 2,25 fois l'aire initiale, alors $k^2=2,25$ . Comme un rapport de longueur est positif, $k=\sqrt{2,25}=1,5$ .

V'=0,125V\Longrightarrow k^3=0,125\Longrightarrow k=0,5.

La racine carrée intervient pour remonter d'un rapport d'aire au rapport de longueur. Pour un volume cube simple, on recherche le nombre dont le cube donne le coefficient observé.

Travailler avec une échelle de plan ou de maquette

À l'échelle 1:50, une longueur de 1 cm sur le plan correspond à 50 cm en réalité. Une table longue de 2,4 m, soit 240 cm, mesure $240/50=4,8$ cm sur le plan.

Échelle	Rapport plan/réalité	Lecture
1:20	$1/20$	1 cm représente 20 cm
1:100	$1/100$	1 cm représente 1 m
2:1	2	objet dessiné deux fois plus grand

Pour une aire sur un plan à l'échelle 1:100, le rapport des aires est $1/10\,000$ , pas $1/100$ . Il faut d'abord identifier si la donnée est une longueur, une aire ou un volume.

Résoudre un problème en séparant les dimensions

Un récipient de 3,6 L est reproduit avec des longueurs divisées par 3. Le rapport est $k=1/3$ , donc le volume de la maquette vaut $3,6\times(1/3)^3=3,6/27$ L, soit environ 0,133 L ou 133 mL.

V'=\frac{3,6}{27}\text{ L}\approx0,133\text{ L}=133\text{ mL}.

Le contrôle qualitatif est fort : une réduction par 3 dans chaque direction doit produire un volume beaucoup plus petit que le tiers. Le théorème de Pythagore permet de retrouver certaines longueurs avant le changement d'échelle, tandis que le théorème de Thalès relie ces rapports aux configurations géométriques.

Astuce : écrire L, A ou V à côté du rapport avant de choisir $k$ , $k^2$ ou $k^3$ .

Comparer une réduction linéaire et une économie de matière

Un fabricant réduit toutes les dimensions d'un emballage de 10 %. Le rapport de longueur est 0,90. L'aire de carton d'une face semblable est multipliée par $0,9^2=0,81$ , soit une baisse de 19 %. Le volume est multiplié par $0,9^3=0,729$ , soit une baisse de 27,1 %.

Les pourcentages ne se transmettent donc pas directement d'une dimension à l'autre. Une baisse modeste des longueurs peut entraîner une variation plus forte du volume.

Grandeur	Coefficient	Baisse
longueur	0,90	10 %
aire	0,81	19 %
volume	0,729	27,1 %

Vérifier que deux figures peuvent être semblables

Deux rectangles de dimensions 6 cm sur 4 cm et 10 cm sur 7 cm ne sont pas semblables : les rapports $10/6$ et $7/4$ diffèrent. Il ne suffit pas que les deux longueurs augmentent.

Si le second mesurait 10,5 cm sur 7 cm, les deux rapports vaudraient 1,75. Les angles droits étant conservés, le second serait un agrandissement du premier.

Astuce : calculer au moins deux rapports de longueurs correspondantes avant d'utiliser les effets sur aires ou volumes.

Agrandissement et réduction 3ème : l’essentiel à retenir

Un rapport $k$ multiplie les longueurs et les périmètres par $k$ , les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$ . Le sens inverse utilise une racine adaptée. Les contrôles d'ordre de grandeur sont essentiels, surtout lors d'une réduction.

Cette progression suit les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et relie échelles, figures semblables, homothéties et volumes.