Agrandissement et réduction 3ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés d'agrandissement et réduction en 3ème font varier longueurs, aires et volumes sans confondre leurs coefficients. Le cours sur les changements d'échelle donne les trois lois.

Les configurations triangulaires peuvent aussi mobiliser le théorème de Thalès. Les corrections identifient d'abord la nature de la grandeur avant d'appliquer kk, k2k^2 ou k3k^3.

Déterminer et appliquer un coefficient

Dans deux figures semblables, toutes les longueurs correspondantes sont multipliées par le même coefficient positif. Supérieur à 11, il produit un agrandissement ; inférieur à 11, une réduction.

Exercice 1 : Retrouver le coefficient et les côtés manquants

Facile

Un triangle de côtés 66, 88 et 1111 cm est agrandi. Le côté correspondant à 88 cm mesure alors 1414 cm.

  1. Calculer le coefficient d'agrandissement.
  2. Calculer les deux autres côtés de l'image.
  3. Vérifier que les rapports des côtés correspondants sont égaux.
Indication

Le coefficient est longueur image divisée par longueur initiale.

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  1. k=14/8=1,75k=14/8=1{,}75.
  2. Les autres côtés mesurent 6×1,75=10,56\times1{,}75=10{,}5 cm et 11×1,75=19,2511\times1{,}75=19{,}25 cm.
  3. 10,5/6=14/8=19,25/11=1,7510{,}5/6=14/8=19{,}25/11=1{,}75.

Exercice 2 : Agrandissement ou réduction ?

Facile

Pour chaque coefficient 2,42{,}4, 0,650{,}65, 11 et 3/53/5, indiquer l'effet sur une longueur de 2020 cm.

  1. Classer les transformations.
  2. Calculer les quatre longueurs images.
Indication

Le coefficient 11 conserve les dimensions ; 3/53/5 est inférieur à 11.

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  1. 2,42{,}4 donne un agrandissement ; 0,650{,}65 et 3/53/5 des réductions ; 11 conserve la taille.
  2. Les longueurs sont 4848, 1313, 2020 et 1212 cm.

Exercice 3 : Coordonnées d’une image

Moyen

Dans un repère, le triangle ABCABC a pour sommets A(1;2)A(1;2), B(4;2)B(4;2) et C(1;5)C(1;5). On multiplie toutes les coordonnées par 1,51{,}5 depuis l'origine.

  1. Donner les coordonnées de A′A', B′B' et C′C'.
  2. Calculer ABAB et A′B′A'B'.
  3. Vérifier le coefficient sur une seconde longueur.
Indication

Cette transformation multiplie chaque déplacement depuis l'origine par 1,51{,}5.

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  1. A′(1,5;3)A'(1{,}5;3), B′(6;3)B'(6;3) et C′(1,5;7,5)C'(1{,}5;7{,}5).
  2. AB=3AB=3 et A′B′=4,5=1,5×3A'B'=4{,}5=1{,}5\times3.
  3. AC=3AC=3 et A′C′=4,5A'C'=4{,}5, donc le même coefficient est retrouvé.

Relier périmètres et aires

Les périmètres sont multipliés par kk, mais les aires par k2k^2. Cette différence est essentielle pour retrouver un coefficient à partir d'une surface.

Exercice 4 : Rectangle agrandi

Moyen

Un rectangle de 77 cm sur 44 cm est agrandi avec le coefficient 1,81{,}8.

  1. Calculer les nouvelles dimensions.
  2. Comparer les périmètres initial et final.
  3. Comparer les aires initiale et finale.
  4. Retrouver les facteurs kk et k2k^2.
Indication

Calculez une fois directement, puis contrôlez avec les facteurs théoriques.

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  1. Les dimensions deviennent 12,612{,}6 cm et 7,27{,}2 cm.
  2. Les périmètres sont 2222 cm et 39,639{,}6 cm ; le rapport vaut 1,81{,}8.
  3. Les aires sont 28 cm228\,\text{cm}^2 et 90,72 cm290{,}72\,\text{cm}^2 ; le rapport vaut 3,243{,}24.
  4. On retrouve k=1,8k=1{,}8 et k2=3,24k^2=3{,}24.

Exercice 5 : Retrouver le coefficient grâce aux aires

Difficile

Deux figures semblables ont des aires de 45 cm245\,\text{cm}^2 et 125 cm2125\,\text{cm}^2.

  1. Calculer le rapport des aires.
  2. En déduire le coefficient des longueurs.
  3. Une longueur de 99 cm dans la petite figure correspond à quelle longueur ?
Indication

Le rapport des aires est le carré du coefficient de longueur.

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  1. Le rapport vaut 125/45=25/9125/45=25/9.
  2. k=25/9=5/3k=\sqrt{25/9}=5/3.
  3. La longueur correspondante vaut 9×5/3=159\times5/3=15 cm.

Transformer un solide et son volume

Quand toutes les longueurs d'un solide sont multipliées par kk, les aires sont multipliées par k2k^2 et les volumes par k3k^3.

Exercice 6 : Cube réduit

Facile

Un cube de côté 1212 cm est réduit avec le coefficient 0,750{,}75.

  1. Calculer le nouveau côté.
  2. Calculer les deux volumes.
  3. Vérifier le rapport k3k^3.
Indication

Le volume d'un cube de côté cc est c3c^3.

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  1. Le nouveau côté vaut 99 cm.
  2. Les volumes sont 123=1 728 cm312^3=1\,728\,\text{cm}^3 et 93=729 cm39^3=729\,\text{cm}^3.
  3. 729/1 728=0,421875=(0,75)3729/1\,728=0{,}421875=(0{,}75)^3.

Exercice 7 : Volume multiplié par huit

Moyen

Une maquette est agrandie de sorte que son volume soit multiplié par 88.

  1. Déterminer le coefficient appliqué aux longueurs.
  2. Donner le facteur appliqué aux aires.
  3. Calculer l'image d'une longueur de 3,53{,}5 cm et d'une aire de 12 cm212\,\text{cm}^2.
Indication

Cherchez kk tel que k3=8k^3=8.

Voir le corrigé
  1. k=2k=2.
  2. Les aires sont multipliées par k2=4k^2=4.
  3. La longueur devient 77 cm et l'aire 48 cm248\,\text{cm}^2.

Exercice 8 : Cône et dosage

Difficile

Deux gobelets coniques sont semblables. Le grand a une hauteur de 1515 cm, le petit de 1010 cm. Le petit contient 240240 mL.

  1. Calculer le coefficient du petit vers le grand.
  2. Déterminer le rapport des volumes.
  3. Calculer la contenance du grand gobelet.
  4. Expliquer pourquoi multiplier seulement par 1,51{,}5 serait incorrect.
Indication

Le coefficient des longueurs vaut 15/1015/10, mais une contenance est un volume.

Voir le corrigé
  1. k=1,5k=1{,}5.
  2. Le rapport des volumes vaut k3=3,375k^3=3{,}375.
  3. Le grand gobelet contient 240×3,375=810240\times3{,}375=810 mL.
  4. Le rayon et la hauteur augmentent ensemble ; le volume dépend de trois dimensions, pas d'une seule.

Contrôler une reproduction et éviter les faux raisonnements

Une reproduction est semblable seulement si toutes les longueurs suivent le même coefficient et si les angles sont conservés. Les pourcentages d'aire ne se confondent pas avec ceux des longueurs.

Exercice 9 : Photographie déformée

Moyen

Une image de 1616 cm sur 1010 cm est redimensionnée à 2424 cm sur 1414 cm.

  1. Calculer le coefficient horizontal.
  2. Calculer le coefficient vertical.
  3. Décider s'il s'agit d'un agrandissement de figure semblable.
  4. Donner la hauteur correcte pour une largeur de 2424 cm sans déformation.
Indication

Une même reproduction doit utiliser un seul coefficient dans les deux directions.

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  1. Le coefficient horizontal vaut 24/16=1,524/16=1{,}5.
  2. Le coefficient vertical vaut 14/10=1,414/10=1{,}4.
  3. Les coefficients diffèrent : l'image est déformée.
  4. La hauteur correcte serait 10×1,5=1510\times1{,}5=15 cm.

Exercice 10 : Une hausse d’aire mal interprétée

Difficile

Un élève affirme : « Si chaque longueur augmente de 20 %20\,\%, alors l'aire augmente de 20 %20\,\%. »

  1. Traduire la hausse de longueur par un coefficient.
  2. Calculer le coefficient d'aire.
  3. Déterminer le pourcentage réel de hausse d'aire.
  4. Donner un exemple avec un carré de côté 1010 cm.
Indication

Une aire dépend de deux dimensions, toutes deux multipliées par 1,21{,}2.

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  1. Le coefficient de longueur est 1,21{,}2.
  2. Le coefficient d'aire est (1,2)2=1,44(1{,}2)^2=1{,}44.
  3. L'aire augmente donc de 44 %44\,\%.
  4. Le carré passe d'une aire de 100 cm2100\,\text{cm}^2 à 122=144 cm212^2=144\,\text{cm}^2.
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