Proportionnalité 3ème : taux et coefficient

La proportionnalité en 3ème sert à décrire des rapports constants, mais aussi des évolutions : hausse d'un prix, réduction, variation d'une population ou comparaison entre une valeur initiale et une valeur finale.

Le coefficient multiplicateur réunit ces situations dans une seule écriture. Il permet de passer directement d'une valeur à l'autre, de composer plusieurs évolutions et de retrouver un taux sans confondre variation absolue et variation relative.

Table des Matières

Reconnaître une situation de proportionnalité

Proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Une voiture qui parcourt 72 km par heure à vitesse constante parcourt $72t$ km en $t$ heures. En revanche, un taxi qui ajoute un forfait fixe au prix par kilomètre ne crée pas une situation proportionnelle, car le quotient prix sur distance n'est pas constant.

Durée en h	0,5	1,5	3
Distance en km	36	108	216

Dans chaque colonne, le quotient distance sur durée vaut 72. La présence de l'origine dans une représentation graphique est un autre indice, mais elle ne remplace pas le contrôle des données.

Calculer un taux d’évolution

Taux d’évolution

Si une valeur passe de $V_i$ à $V_f$ , son taux d'évolution est $t=\frac{V_f-V_i}{V_i}$ . Un taux positif indique une hausse ; un taux négatif indique une baisse.

t=\frac{92-80}{80}=\frac{12}{80}=0,15=15\%.

Les 12 € représentent la variation absolue. Les 15 % comparent cette variation à la valeur initiale. Changer le dénominateur changerait donc le sens du taux.

Erreur fréquente : un taux se rapporte à la valeur initiale, pas à la valeur finale. Pour une hausse de 80 à 92, le dénominateur est 80.

Passer du taux au coefficient multiplicateur

Coefficient d’évolution

Une évolution de taux $t$ transforme $V_i$ en $V_f=V_i(1+t)$ . Le nombre $1+t$ est le coefficient multiplicateur.

Évolution d'une valeur initiale par coefficient multiplicateur — Le coefficient multiplicateur agit en une seule opération sur la valeur initiale.

Évolution	Taux décimal	Coefficient
hausse de 8 %	$+0,08$	1,08
baisse de 8 %	$-0,08$	0,92
hausse de 125 %	$+1,25$	2,25

Une baisse de 8 % ne revient donc pas à multiplier par $-0,08$ , mais à conserver 92 % de la valeur, soit multiplier par 0,92.

Composer des évolutions successives

Pour plusieurs évolutions, on multiplie les coefficients. Un prix augmente de 20 %, puis diminue de 20 %. Les coefficients sont 1,20 et 0,80 ; leur produit vaut 0,96.

1,20\times0,80=0,96=1-0,04.

Le taux global est donc une baisse de 4 %. Les pourcentages opposés ne s'annulent pas, car la seconde variation s'applique à une nouvelle base. Pour un nombre quelconque $V$ , on termine à $0,96V$ .

Astuce : pour des évolutions successives, écrire une ligne de coefficients avant de calculer empêche l'addition abusive des taux.

Retrouver une valeur initiale ou une évolution réciproque

Après une baisse de 15 %, un article coûte 68 €. Le coefficient est 0,85. Si $P$ est le prix initial, $0,85P=68$ , donc $P=68\div0,85=80$ €.

L'évolution réciproque est celle qui ramène à la valeur initiale. Son coefficient est l'inverse du premier. Après une hausse de 25 %, le coefficient est 1,25 ; le coefficient réciproque vaut $1\div1,25=0,8$ , soit une baisse de 20 %.

1,25\times0,8=1.

Erreur fréquente : après une hausse de 25 %, une baisse de 25 % ne ramène pas au départ. Le coefficient 0,75 donne un produit de 0,9375.

Relier tableau, graphique et fonction linéaire

Une situation proportionnelle de coefficient $a$ s'écrit $f(x)=ax$ . Son graphique est une droite passant par l'origine. Le coefficient peut se lire comme le quotient $\frac{f(x)}x$ pour tout $x\neq0$ .

Cette écriture prolonge les fonctions étudiées en 4ème. Le tableau fournit des couples de valeurs, la formule calcule n'importe quelle image et le graphique donne une lecture visuelle de l'évolution.

f(x)=1,18x\quad\Longleftrightarrow\quad\text{hausse de }18\%.

Choisir la donnée de référence dans un problème

Un effectif passe de 240 à 276. La hausse absolue est 36 et le taux vaut $36/240=15\%$ . Si l'on demande ensuite la baisse nécessaire pour revenir à 240, la nouvelle référence est 276 : le taux est $(240-276)/276\approx-13,0\%$ .

La question détermine donc la base du pourcentage. Le cours sur les pourcentages en 4ème fournit les calculs simples ; le niveau 3ème ajoute la composition et l'évolution réciproque.

Identifier clairement valeur initiale et valeur finale.
Calculer ou traduire le taux en écriture décimale.
Utiliser le coefficient adapté à la question.
Contrôler le sens de variation et l'ordre de grandeur.

Indice base 100 et comparaison d’évolutions

Un indice base 100 fixe la valeur initiale à 100. Une hausse de 12 % conduit à l'indice 112 ; une baisse de 7 % à l'indice 93. Si une valeur atteint l'indice 126, elle a augmenté de 26 % depuis la base.

Pour comparer deux séries de tailles différentes, les indices éliminent les unités. Une production passe de 400 à 460, soit l'indice 115. Une autre passe de 900 à 1 008, soit l'indice 112. La première croissance relative est plus forte, même si la seconde gagne davantage d'unités.

\text{indice}=\frac{\text{valeur actuelle}}{\text{valeur de base}}\times100.

Taux moyen et coefficient moyen

Pour répartir une évolution globale sur plusieurs périodes identiques, on ne divise pas toujours le taux par le nombre de périodes. Deux hausses successives de même coefficient $c$ donnent un coefficient global $c^2$ .

Si une valeur augmente globalement de 21 % en deux étapes identiques, $c^2=1,21$ , donc $c=1,10$ . Chaque étape correspond à une hausse de 10 %, car $1,1^2=1,21$ .

Cette idée explique pourquoi la composition des coefficients précède le calcul d'un taux moyen.

Proportionnalité 3ème : l’essentiel à retenir

Le taux d'évolution compare une variation à la valeur initiale. Le coefficient $1+t$ transforme directement la valeur, les coefficients se multiplient lors d'évolutions successives et leur inverse donne l'évolution réciproque. Ce langage unifie pourcentages, tableaux et fonctions linéaires.

La progression respecte les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et privilégie une interprétation vérifiable des pourcentages.