Proportionnalité 3ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de proportionnalité en 3ème combinent tableaux, graphiques, échelles et évolutions en pourcentage. Le cours sur les taux et coefficients multiplicateurs aide à choisir la bonne représentation.

Les calculs exacts avec quotients peuvent nécessiter les méthodes sur les fractions. Une attention particulière est portée aux situations affines qui ne sont pas proportionnelles.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Une situation est proportionnelle lorsque toutes les valeurs d'une grandeur s'obtiennent en multipliant l'autre par un même coefficient.

Exercice 1 : Deux tableaux à départager

Facile

On donne les tableaux :

Tableau A3712
7,517,530
Tableau B4915
102237,5
  1. Calculer les rapports dans chaque tableau.
  2. Dire lequel est proportionnel et donner son coefficient.
  3. Exhiber une seule paire qui réfute la proportionnalité de l'autre tableau.
Indication

Deux rapports égaux ne suffisent pas si le tableau possède une troisième colonne.

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  1. Dans A, 7,5/3=17,5/7=30/12=2,57{,}5/3=17{,}5/7=30/12=2{,}5. Dans B, 10/4=2,510/4=2{,}5, mais 22/9≠2,522/9\ne2{,}5.
  2. Le tableau A est proportionnel, de coefficient 2,52{,}5.
  3. Dans B, la paire (9;22)(9;22) contredit déjà le coefficient 2,52{,}5 donné par (4;10)(4;10).

Exercice 2 : Prix au kilogramme et frais fixes

Moyen

Une livraison coûte 3,203{,}20 euros par kilogramme, auxquels s'ajoutent 55 euros de frais fixes.

  1. Calculer le prix de 22 kg puis de 55 kg.
  2. Tester si le prix total est proportionnel à la masse.
  3. Expliquer le rôle des frais fixes.
Indication

Dans une situation proportionnelle, doubler la masse doit doubler le prix total.

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  1. Les prix sont 3,20×2+5=11,403{,}20\times2+5=11{,}40 euros et 3,20×5+5=213{,}20\times5+5=21 euros.
  2. Les rapports 11,40/211{,}40/2 et 21/521/5 sont différents : le prix total n'est pas proportionnel à la masse.
  3. Le terme fixe 55 ne varie pas avec la masse et empêche le passage par l'origine.

Exercice 3 : Une représentation graphique décisive

Moyen

Les points A(0;0)A(0;0), B(2;5)B(2;5), C(6;15)C(6;15) et D(10;24)D(10;24) représentent une relation entre deux grandeurs.

  1. Vérifier si AA, BB et CC sont alignés.
  2. Tester le point DD.
  3. Conclure sur la proportionnalité de l'ensemble des données.
Indication

Comparez les quotients y/xy/x pour les points dont l'abscisse est non nulle.

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  1. Pour BB et CC, 5/2=15/6=2,55/2=15/6=2{,}5, et la droite passe par l'origine.
  2. Pour DD, 24/10=2,424/10=2{,}4, donc ce point n'appartient pas à la même droite.
  3. Toutes les données ne décrivent pas une situation proportionnelle.

Calculer une quatrième proportionnelle

Le produit en croix est une conséquence de l'égalité de deux rapports. Il faut d'abord vérifier que le modèle proportionnel est pertinent.

Exercice 4 : Consommation de peinture

Facile

Avec 3,53{,}5 L de peinture, on couvre 28 m228\,\text{m}^2. La consommation est supposée proportionnelle à l'aire.

  1. Déterminer l'aire couverte par litre.
  2. Calculer le volume nécessaire pour 74 m274\,\text{m}^2.
Indication

Calculez le coefficient dans le sens litres vers mètres carrés, ou utilisez directement deux rapports égaux.

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  1. Un litre couvre 28/3,5=8 m228/3{,}5=8\,\text{m}^2.
  2. Il faut 74/8=9,2574/8=9{,}25 L.

Exercice 5 : Retrouver deux cases d’un tableau

Moyen

Le tableau suivant est proportionnel :

Première ligne6xx14
Seconde ligne1535yy
  1. Déterminer le coefficient de la première ligne vers la seconde.
  2. Calculer xx.
  3. Calculer yy par une méthode différente.
  4. Vérifier les deux colonnes complétées.
Indication

La première colonne donne immédiatement le coefficient. Pour yy, vous pouvez employer le produit en croix.

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  1. Le coefficient vaut 15/6=2,515/6=2{,}5.
  2. 2,5x=352{,}5x=35, donc x=14x=14.
  3. 6y=15×146y=15\times14, donc y=35y=35.
  4. Les deux colonnes ajoutées donnent bien le rapport 2,52{,}5.

Appliquer un pourcentage et une échelle

Un pourcentage se traduit par un coefficient décimal. Sur un plan, toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur, mais les aires ne le sont pas.

Exercice 6 : Remise puis prix payé

Facile

Un casque affiché à 8484 euros bénéficie d'une remise de 15 %15\,\%.

  1. Calculer le montant de la remise.
  2. Calculer le prix payé avec un coefficient multiplicateur.
Indication

Après une remise de 15 %15\,\%, on conserve 85 %85\,\% du prix.

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  1. La remise vaut 84×0,15=12,6084\times0{,}15=12{,}60 euros.
  2. Le prix payé est 84×0,85=71,4084\times0{,}85=71{,}40 euros.

Exercice 7 : Retrouver le prix avant réduction

Moyen

Après une réduction de 20 %20\,\%, un article coûte 5656 euros.

  1. Écrire l'équation reliant le prix initial pp au prix réduit.
  2. Calculer pp.
  3. Expliquer pourquoi ajouter simplement 20 %20\,\% à 5656 ne convient pas.
Indication

Le prix réduit représente 80 %80\,\% du prix initial.

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  1. 0,8p=560{,}8p=56.
  2. p=56/0,8=70p=56/0{,}8=70 euros.
  3. Les 20 %20\,\% sont calculés sur 7070, pas sur 5656. Ajouter 11,2011{,}20 euros ne restituerait donc pas le prix initial.

Exercice 8 : Échelle d’un plan

Moyen

Un plan est à l'échelle 1:25 0001:25\,000. Deux points y sont distants de 7,67{,}6 cm.

  1. Calculer la distance réelle en centimètres.
  2. La convertir en kilomètres.
  3. Déterminer la longueur sur le plan correspondant à 3,53{,}5 km.
Indication

Un centimètre sur le plan représente 25 00025\,000 cm dans la réalité.

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  1. La distance réelle vaut 7,6×25 000=190 0007{,}6\times25\,000=190\,000 cm.
  2. Elle mesure 1,91{,}9 km.
  3. 3,53{,}5 km valent 350 000350\,000 cm, soit 350 000/25 000=14350\,000/25\,000=14 cm sur le plan.

Modéliser des évolutions et des répartitions

Dans une évolution successive, les coefficients se multiplient. Dans un partage proportionnel, une part dépend du total des poids choisis.

Exercice 9 : Deux évolutions successives

Difficile

Une quantité augmente de 12 %12\,\%, puis diminue de 12 %12\,\%.

  1. Écrire les deux coefficients multiplicateurs.
  2. Calculer le coefficient global.
  3. Déterminer l'évolution globale en pourcentage.
  4. Illustrer avec une valeur initiale de 250250.
Indication

Des pourcentages opposés ne s'annulent pas car ils ne portent pas sur la même valeur de référence.

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  1. Les coefficients sont 1,121{,}12 et 0,880{,}88.
  2. Le coefficient global vaut 1,12×0,88=0,98561{,}12\times0{,}88=0{,}9856.
  3. La baisse globale est de 1−0,9856=0,01441-0{,}9856=0{,}0144, soit 1,44 %1{,}44\,\%.
  4. 250250 devient 280280, puis 246,40246{,}40, soit une perte de 3,603{,}60.

Exercice 10 : Partager selon trois poids

Moyen

Une somme de 1 2601\,260 euros est répartie entre trois associations proportionnellement aux nombres 22, 33 et 44.

  1. Calculer le total des parts élémentaires.
  2. Déterminer la valeur d'une part.
  3. Donner les trois montants et vérifier leur somme.
Indication

Les trois associations reçoivent respectivement 22, 33 et 44 parts identiques.

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  1. Le nombre total de parts est 2+3+4=92+3+4=9.
  2. Une part vaut 1 260/9=1401\,260/9=140 euros.
  3. Les montants sont 280280, 420420 et 560560 euros ; leur somme vaut bien 1 2601\,260.

Exercice 11 : Concentration d’un mélange

Difficile

Une boisson contient 18 %18\,\% de jus. On dispose de 2,52{,}5 L de cette boisson.

  1. Calculer le volume de jus pur.
  2. Calculer le volume d'eau et des autres composants.
  3. On ajoute 0,50{,}5 L de jus pur : calculer la nouvelle proportion de jus.
  4. Dire si le passage de 18 %18\,\% à 38 %38\,\% serait correct.
Indication

Après l'ajout, le volume de jus et le volume total changent tous les deux.

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  1. Le jus représente 2,5×0,18=0,452{,}5\times0{,}18=0{,}45 L.
  2. Les autres composants occupent 2,5−0,45=2,052{,}5-0{,}45=2{,}05 L.
  3. Après l'ajout, il y a 0,950{,}95 L de jus sur 33 L, soit 0,95/3≈31,7 %0{,}95/3\approx31{,}7\,\%.
  4. Ajouter 2020 points à 18 %18\,\% ignore le changement de volume total ; 38 %38\,\% est donc incorrect.
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