La notation scientifique en 3ème rend lisibles les nombres très grands et très petits. Écrire le diamètre d’une cellule ou une distance astronomique sous la forme d’un nombre compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10 facilite la comparaison et le calcul.
Le déplacement de la virgule n’est qu’un effet visible. La véritable méthode consiste à compenser chaque changement de la mantisse par la puissance de 10 correspondante, puis à normaliser le résultat.
Définition d’une écriture scientifique
Notation scientifique
L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est \(a\times10^n\), où \(n\) est un entier relatif et \(1\leq|a|<10\). Le nombre \(a\) conserve le signe du nombre initial.
Ainsi, \(4,72\times10^5\) est une notation scientifique. En revanche, \(47,2\times10^4\) représente la même valeur mais n’est pas normalisée, car 47,2 n’est pas compris entre 1 et 10.
Passer d’une écriture décimale à la notation scientifique
On place la virgule après le premier chiffre non nul. On compte ensuite le nombre de rangs parcourus. Si la virgule se déplace vers la gauche, l’exposant est positif ; si elle se déplace vers la droite, l’exposant est négatif.
Le signe de l’exposant peut être contrôlé par la taille : \(10^7\) agrandit 7,35, tandis que \(10^{-5}\) le rend très petit. Cette vérification évite d’inverser les signes.
Erreur fréquente : les zéros entre deux chiffres non nuls appartiennent à la mantisse. Par exemple, \(0,00504=5,04\times10^{-3}\), pas \(5,4\times10^{-3}\).
Retrouver l’écriture décimale sans perdre de zéros
Multiplier par \(10^n\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite lorsque \(n\) est positif, et de \(|n|\) rangs vers la gauche lorsque \(n\) est négatif. On ajoute les zéros nécessaires comme chiffres de position.
| Écriture scientifique | Sens | Écriture décimale |
|---|---|---|
| \(6,03\times10^4\) | 4 rangs à droite | 60 300 |
| \(9,7\times10^{-3}\) | 3 rangs à gauche | 0,0097 |
| \(-1,25\times10^2\) | signe conservé | -125 |
Multiplier et diviser en séparant mantisses et puissances
On regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre. Les règles du cours sur les puissances en 3ème s’appliquent aux exposants.
Le premier résultat est exact mais non normalisé. Diviser la mantisse par 10 oblige à multiplier la puissance par 10, donc à augmenter l’exposant de 1.
Additionner des nombres écrits avec des puissances de 10
On ne peut additionner directement les mantisses que si les puissances de 10 sont identiques. Pour \(4,8\times10^6+7,5\times10^5\), on écrit le second terme \(0,75\times10^6\), puis on additionne.
Erreur fréquente : additionner les exposants dans une somme est faux. Cette règle appartient au produit de puissances de même base.
Comparer deux notations scientifiques
Pour des nombres positifs, on compare d’abord les exposants : \(8,9\times10^7\) est supérieur à \(2,1\times10^6\). Si les exposants sont égaux, on compare les mantisses. Avec des nombres négatifs, le nombre de plus grande distance à zéro est le plus petit.
Comparaison à exposants différents
Une différence d’au moins une unité entre les exposants l’emporte sur les mantisses normalisées : toute mantisse est comprise entre 1 inclus et 10 exclu.
Pour comparer rapidement, vérifier que les deux écritures sont normalisées. Sinon, \(45\times10^3\) pourrait sembler avoir un exposant plus petit que \(5\times10^4\), alors que le premier vaut \(4,5\times10^4\).
Donner un ordre de grandeur et contrôler un résultat
Un ordre de grandeur remplace un nombre par une puissance de 10 proche pour estimer. Pour \(6,7\times10^8\), la puissance la plus proche est \(10^9\), car 6,7 est plus proche de 10 que de 1. Pour \(2,4\times10^{-5}\), on retient \(10^{-5}\).
L’ordre de grandeur permet de détecter une erreur de calculatrice. Le produit de \(3\times10^6\) par \(2\times10^{-4}\) doit être proche de \(6\times10^2\). Un affichage en \(10^{10}\) signalerait un exposant mal saisi.
La calculatrice d’exposants peut confirmer la valeur finale, mais l’estimation reste indispensable pour interpréter l’affichage.
Astuce : écrire séparément la mantisse et la puissance avant d’utiliser une calculatrice limite les erreurs de touche sur la notation E.
Interpréter l’affichage E d’une calculatrice
Une calculatrice peut afficher \(3.45\text{E}-7\). La lettre E signifie « multiplié par dix puissance » : cette écriture correspond à \(3,45\times10^{-7}\). Elle n’est ni une lettre inconnue ni le nombre d’Euler.
Pour saisir \((6,2\times10^8)/(4\times10^{-3})\), utiliser la touche d’exposant scientifique pour chaque facteur ou placer des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur. Le résultat \(1,55\times10^{11}\) doit ensuite être comparé à l’ordre de grandeur attendu, proche de \(10^{11}\).
Une saisie qui renvoie \(10^5\) a probablement oublié les parenthèses ou le signe négatif de l’exposant. Écrire d’abord le calcul symbolique permet d’interpréter l’écran au lieu de lui déléguer le raisonnement.
Résoudre un problème avec plusieurs échelles
Une bactérie mesure \(2,4\times10^{-6}\) m. Placées bout à bout, \(3,5\times10^4\) bactéries occupent une longueur égale au produit des deux écritures scientifiques.
Le résultat en centimètres donne une représentation concrète et contrôle l’exposant : plusieurs dizaines de milliers d’objets microscopiques peuvent former quelques centimètres, pas plusieurs kilomètres.
Notation scientifique 3ème : l’essentiel à retenir
Une notation scientifique est normalisée lorsque sa mantisse a une distance à zéro comprise entre 1 et 10. Les conversions s’appuient sur les rangs de la virgule ; les produits et quotients séparent mantisses et puissances ; les sommes exigent une même puissance de 10. L’ordre de grandeur apporte enfin un contrôle rapide.
Cette progression respecte les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et installe une écriture utile en mathématiques comme dans les sciences.