Pyramides et cônes 4ème : 11 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les pyramides et les cônes en 4ème font identifier les éléments du solide, lire un patron et calculer un volume. Le cours sur patrons, perspectives et volumes distingue hauteur, arête et génératrice.

Les changements d'échelle sont reliés aux agrandissements et réductions. Les résultats exacts avec π\pi sont conservés avant toute approximation.

Reconnaître les éléments d’un solide

La base d'une pyramide est un polygone, ses faces latérales sont des triangles ; un cône de révolution possède une base circulaire.

Exercice 1 : Compter faces, arêtes et sommets

Facile

On considère une pyramide à base pentagonale.

  1. Compter les sommets de la base.
  2. Compter les faces latérales.
  3. Donner le nombre total de faces.
  4. Compter les arêtes.
  5. Compter les sommets du solide.
Indication

Chaque côté de la base correspond à une face triangulaire et à une arête reliant le sommet principal.

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  1. La base a 55 sommets.
  2. Il y a 55 faces latérales.
  3. Avec la base, le total est 66 faces.
  4. Il y a 55 arêtes de base et 55 arêtes latérales, soit 1010.
  5. Le solide possède 5+1=65+1=6 sommets.

Exercice 2 : Hauteur ou arête

Facile

Dans une pyramide SABCD, H est le pied de la perpendiculaire issue de S au plan de la base. On sait SH=8SH=8 cm et SA=10SA=10 cm.

  1. Identifier la hauteur.
  2. Identifier une arête latérale.
  3. Expliquer pourquoi SA ne remplace pas SH dans la formule du volume.
Indication

La hauteur est perpendiculaire au plan de la base.

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  1. La hauteur est [SH], de longueur 88 cm.
  2. [SA] est une arête latérale.
  3. SA est oblique en général ; le volume utilise la distance perpendiculaire entre le sommet et le plan de base, donc SH.

Exercice 3 : Vocabulaire du cône

Moyen

Un cône de révolution a pour sommet S, centre de base O, rayon r=3r=3 cm, hauteur SO=4SO=4 cm et génératrice 55 cm.

  1. Nommer le segment de hauteur.
  2. Distinguer rayon et génératrice.
  3. Dire quelles mesures interviennent dans le volume.
  4. Expliquer la présence du disque dans un patron.
Indication

Le volume utilise l'aire du disque de base et la hauteur perpendiculaire.

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  1. La hauteur est [SO].
  2. Le rayon relie O à un point du cercle ; la génératrice relie S à un point du cercle.
  3. Le volume utilise r=3r=3 et h=4h=4, pas directement la génératrice.
  4. Le disque représente la base du cône déplié.

Lire une perspective et un patron

Les arêtes cachées sont codées en pointillés en perspective ; un patron doit reconstituer les faces sans chevauchement.

Exercice 4 : Patron d’une pyramide carrée

Moyen

Un patron comporte un carré de 44 cm de côté et quatre triangles isocèles identiques attachés chacun à un côté du carré.

  1. Identifier la base et les faces latérales.
  2. Dire quel solide peut être formé.
  3. Calculer le périmètre de la base.
  4. Expliquer une condition nécessaire sur les triangles.
Indication

Les quatre triangles doivent partager, après pliage, un sommet commun hors du plan de la base.

Voir le corrigé
  1. Le carré est la base ; les triangles sont les faces latérales.
  2. Le patron forme une pyramide à base carrée.
  3. Le périmètre de la base vaut 4×4=164\times4=16 cm.
  4. Les côtés des triangles destinés à se rejoindre doivent avoir des longueurs compatibles, sinon le sommet ne se ferme pas.

Exercice 5 : Patron impossible

Difficile

Un élève propose pour une pyramide à base triangulaire un patron composé d'un triangle de base et de seulement deux triangles latéraux.

  1. Expliquer pourquoi le patron est incomplet.
  2. Donner le nombre correct de faces latérales.
  3. Proposer une disposition possible.
  4. Indiquer un autre défaut possible même avec trois triangles.
Indication

Chaque côté du triangle de base doit recevoir une face latérale.

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  1. Un côté de la base resterait sans face.
  2. Il faut trois triangles latéraux.
  3. On peut attacher un triangle à chacun des trois côtés de la base.
  4. Même avec trois triangles, des longueurs incompatibles ou un chevauchement au pliage peuvent rendre le patron impossible.

Calculer des volumes

Le volume d'une pyramide ou d'un cône vaut un tiers du produit aire de base par hauteur.

Exercice 6 : Pyramide à base rectangulaire

Facile

Une pyramide a une base rectangulaire de 66 cm sur 44 cm et une hauteur de 99 cm.

  1. Calculer l'aire de base.
  2. Calculer le volume.
  3. Donner l'unité correcte.
Indication

Utilisez V=13×Abase×hV=\frac13\times A_{base}\times h.

Voir le corrigé
  1. L'aire de base vaut 6×4=24 cm26\times4=24\ \mathrm{cm}^2.
  2. V=13×24×9=72 cm3V=\frac13\times24\times9=72\ \mathrm{cm}^3.
  3. Un volume s'exprime en centimètres cubes.

Exercice 7 : Cône exact puis approché

Moyen

Un cône a un rayon de base 55 cm et une hauteur de 1212 cm.

  1. Écrire l'aire de base exacte.
  2. Calculer le volume exact.
  3. Donner une approximation au dixième avec π≈3,1416\pi\approx3{,}1416.
  4. Comparer au cylindre de mêmes base et hauteur.
Indication

L'aire du disque vaut πr2\pi r^2, puis le cône représente un tiers du cylindre correspondant.

Voir le corrigé
  1. L'aire vaut 25π cm225\pi\ \mathrm{cm}^2.
  2. V=13×25π×12=100π cm3V=\frac13\times25\pi\times12=100\pi\ \mathrm{cm}^3.
  3. V≈314,2 cm3V\approx314{,}2\ \mathrm{cm}^3.
  4. Le cylindre vaut 300π cm3300\pi\ \mathrm{cm}^3, trois fois le cône.

Exercice 8 : Retrouver une hauteur

Moyen

Une pyramide a un volume de 210 cm3210\ \mathrm{cm}^3 et une aire de base de 70 cm270\ \mathrm{cm}^2.

  1. Écrire l'équation du volume.
  2. Calculer la hauteur.
  3. Vérifier par substitution.
  4. Dire pourquoi une hauteur de 33 cm serait fausse.
Indication

210=13×70×h210=\frac13\times70\times h.

Voir le corrigé
  1. 210=70h3210=\frac{70h}{3}.
  2. 630=70h630=70h, donc h=9h=9 cm.
  3. 13×70×9=210\frac13\times70\times9=210.
  4. Oublier de compenser le facteur 1/31/3 conduirait à 33 cm, mais donnerait seulement 70 cm370\ \mathrm{cm}^3.

Résoudre des problèmes de solides

Les dimensions doivent être converties avant le calcul, et le volume géométrique doit être interprété dans l'unité demandée.

Exercice 9 : Bougie conique

Moyen

Une bougie en forme de cône a un diamètre de 88 cm et une hauteur de 1515 cm. La cire a une masse volumique de 0,90{,}9 g par cm3\mathrm{cm}^3.

  1. Déterminer le rayon.
  2. Calculer le volume exact.
  3. Donner une approximation du volume.
  4. Calculer la masse approximative.
Indication

Le rayon vaut la moitié du diamètre, puis masse = volume multiplié par masse volumique.

Voir le corrigé
  1. r=4r=4 cm.
  2. V=13π×16×15=80π cm3V=\frac13\pi\times16\times15=80\pi\ \mathrm{cm}^3.
  3. V≈251,3 cm3V\approx251{,}3\ \mathrm{cm}^3.
  4. La masse vaut environ 251,3×0,9=226,2251{,}3\times0{,}9=226{,}2 g.

Exercice 10 : Deux solides de même base

Difficile

Un prisme droit et une pyramide ont la même base d'aire 48 cm248\ \mathrm{cm}^2. Le prisme a une hauteur de 77 cm, la pyramide une hauteur de 1212 cm.

  1. Calculer le volume du prisme.
  2. Calculer celui de la pyramide.
  3. Comparer les volumes.
  4. Trouver la hauteur qu'aurait une pyramide de même volume que le prisme.
  5. Interpréter le facteur obtenu.
Indication

Le prisme utilise AbasehA_{base}h, la pyramide 13Abaseh\frac13A_{base}h.

Voir le corrigé
  1. Le prisme vaut 48×7=336 cm348\times7=336\ \mathrm{cm}^3.
  2. La pyramide vaut 13×48×12=192 cm3\frac13\times48\times12=192\ \mathrm{cm}^3.
  3. Le prisme est plus volumineux de 144 cm3144\ \mathrm{cm}^3.
  4. 13×48×h=336\frac13\times48\times h=336 donne h=21h=21 cm.
  5. La pyramide doit avoir une hauteur trois fois celle du prisme pour compenser le facteur 1/31/3.

Exercice 11 : Réduction d’une maquette

Difficile

Une pyramide de volume 1 000 cm31\,000\ \mathrm{cm}^3 est réduite avec un coefficient 0,40{,}4.

  1. Donner le coefficient appliqué aux aires.
  2. Donner celui appliqué aux volumes.
  3. Calculer le nouveau volume.
  4. Comparer les hauteurs si l'originale vaut 2525 cm.
  5. Expliquer pourquoi multiplier seulement par 0,40{,}4 serait faux.
Indication

Une réduction multiplie les longueurs par kk, les aires par k2k^2 et les volumes par k3k^3.

Voir le corrigé
  1. Les aires sont multipliées par 0,42=0,160{,}4^2=0{,}16.
  2. Les volumes le sont par 0,43=0,0640{,}4^3=0{,}064.
  3. Le volume réduit vaut 1 000×0,064=64 cm31\,000\times0{,}064=64\ \mathrm{cm}^3.
  4. La hauteur devient 25×0,4=1025\times0{,}4=10 cm.
  5. Le volume dépend de trois dimensions, chacune réduite, et non d'une seule longueur.
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