Agrandissement et réduction 4ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les agrandissements et réductions en 4ème distinguent l'effet sur une longueur, une aire et un volume. Le cours sur les coefficients et les échelles explique les puissances du coefficient.

Le coefficient d’échelle prolonge les raisonnements de proportionnalité. Chaque résultat est contrôlé par le sens de la transformation : une réduction de coefficient inférieur à 11 ne peut agrandir une mesure positive.

Déterminer et appliquer un coefficient

Le coefficient est le quotient longueur image sur longueur initiale pour deux longueurs correspondantes.

Exercice 1 : Agrandir des longueurs

Facile

Une figure est agrandie avec le coefficient 1,61{,}6. Trois longueurs initiales valent 44 cm, 7,57{,}5 cm et 1212 cm.

  1. Calculer les trois longueurs images.
  2. Dire si les angles changent.
  3. Calculer l'image d'un périmètre de 3535 cm.
Indication

Multipliez chaque longueur et le périmètre par 1,61{,}6.

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  1. Les longueurs deviennent 6,46{,}4 cm, 1212 cm et 19,219{,}2 cm.
  2. Les angles sont conservés.
  3. Le périmètre devient 35×1,6=5635\times1{,}6=56 cm.

Exercice 2 : Trouver le coefficient

Facile

Un segment de 1515 cm devient 99 cm. Dans une autre transformation, 88 cm deviennent 1414 cm.

  1. Calculer le premier coefficient et qualifier la transformation.
  2. Calculer le second et la qualifier.
  3. Donner le coefficient inverse de chaque transformation.
Indication

Utilisez image divisée par initial.

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  1. k=9/15=0,6k=9/15=0{,}6, c'est une réduction.
  2. k=14/8=1,75k=14/8=1{,}75, c'est un agrandissement.
  3. Les coefficients inverses sont 1/0,6=5/31/0{,}6=5/3 et 1/1,75=4/71/1{,}75=4/7.

Exercice 3 : Correspondances incohérentes

Moyen

Une figure aurait été transformée ainsi : 55 cm deviennent 88 cm, 77 cm deviennent 11,211{,}2 cm, 99 cm deviennent 1414 cm.

  1. Calculer les trois quotients.
  2. Dire si un même agrandissement est possible.
  3. Corriger la dernière longueur.
  4. Expliquer pourquoi deux couples ne suffisent pas à valider toute une figure.
Indication

Les deux premiers coefficients valent 1,61{,}6.

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  1. Les quotients sont 1,61{,}6, 1,61{,}6 et 14/9≈1,55614/9\approx1{,}556.
  2. Les données sont incompatibles avec un coefficient unique.
  3. La dernière longueur devrait être 9×1,6=14,49\times1{,}6=14{,}4 cm.
  4. Il faut aussi vérifier les autres longueurs correspondantes et les angles ; deux mesures seules ne décrivent pas toute la figure.

Calculer l’effet sur les aires

Quand les longueurs sont multipliées par kk, les aires sont multipliées par k2k^2.

Exercice 4 : Aire après agrandissement

Facile

Une figure d'aire 18 cm218\ \mathrm{cm}^2 est agrandie avec k=2,5k=2{,}5.

  1. Calculer le coefficient d'aire.
  2. Calculer la nouvelle aire.
  3. Comparer au résultat faux 18×2,518\times2{,}5.
Indication

Une aire dépend de deux dimensions, donc utilisez 2,522{,}5^2.

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  1. Le coefficient d'aire vaut 2,52=6,252{,}5^2=6{,}25.
  2. L'aire devient 18×6,25=112,5 cm218\times6{,}25=112{,}5\ \mathrm{cm}^2.
  3. 18×2,5=4518\times2{,}5=45 ne tient compte que d'une dimension et est donc faux.

Exercice 5 : Retrouver le coefficient de longueur

Moyen

L'aire d'un logo passe de 200 cm2200\ \mathrm{cm}^2 à 98 cm298\ \mathrm{cm}^2 lors d'une réduction.

  1. Calculer le coefficient d'aire.
  2. En déduire le coefficient de longueur.
  3. Calculer l'image d'une longueur de 3030 cm.
  4. Vérifier le sens de la transformation.
Indication

98/200=0,4998/200=0{,}49, qui est le carré d'un nombre décimal simple.

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  1. Le coefficient d'aire vaut 0,490{,}49.
  2. Le coefficient de longueur est 0,49=0,7\sqrt{0{,}49}=0{,}7.
  3. La longueur devient 30×0,7=2130\times0{,}7=21 cm.
  4. Comme 0,7<10{,}7\lt 1, les longueurs et l'aire diminuent, ce qui est cohérent.

Calculer l’effet sur les volumes

Un solide semblable change dans trois directions, donc son volume est multiplié par k3k^3.

Exercice 6 : Cube agrandi

Facile

Un cube de volume 64 cm364\ \mathrm{cm}^3 est agrandi avec k=1,5k=1{,}5.

  1. Retrouver l'arête initiale.
  2. Calculer la nouvelle arête.
  3. Calculer le coefficient de volume.
  4. Calculer le nouveau volume.
Indication

64=4364=4^3, puis le volume est multiplié par 1,531{,}5^3.

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  1. L'arête initiale vaut 44 cm.
  2. Elle devient 66 cm.
  3. Le coefficient de volume vaut 1,53=3,3751{,}5^3=3{,}375.
  4. Le volume devient 64×3,375=216 cm364\times3{,}375=216\ \mathrm{cm}^3, soit aussi 636^3.

Exercice 7 : Verre rempli à mi-hauteur

Difficile

Un verre conique plein a un volume de 300300 mL. On le remplit jusqu'à la moitié de sa hauteur ; le liquide forme un cône semblable au grand.

  1. Donner le coefficient des longueurs.
  2. Calculer le coefficient des volumes.
  3. Calculer le volume de liquide.
  4. Comparer à la moitié du verre.
  5. Expliquer l'écart intuitif.
Indication

La moitié de la hauteur entraîne aussi la moitié du rayon dans des cônes semblables.

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  1. k=1/2k=1/2.
  2. Le volume est multiplié par (1/2)3=1/8(1/2)^3=1/8.
  3. Le liquide occupe 300/8=37,5300/8=37{,}5 mL.
  4. C'est beaucoup moins que 150150 mL.
  5. La largeur du cône diminue en même temps que la hauteur, donc trois dimensions sont réduites.

Exercice 8 : Retrouver une échelle volumique

Moyen

Le volume d'une maquette vaut 1125\frac1{125} du volume réel.

  1. Écrire le coefficient volumique.
  2. Trouver le coefficient de longueur.
  3. Interpréter l'échelle.
  4. Calculer une longueur de maquette correspondant à 1515 m en réalité.
Indication

125=53125=5^3.

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  1. Le coefficient volumique vaut 1/1251/125.
  2. Le coefficient de longueur vaut 1/51/5.
  3. La maquette est à l'échelle 1:51:5.
  4. 1515 m deviennent 15/5=315/5=3 m. Cette échelle est grande pour une maquette, mais le calcul est correct.

Résoudre des problèmes d’échelle et de composition

Des transformations successives se composent en multipliant leurs coefficients, jamais en les additionnant.

Exercice 9 : Plan d’une pièce

Moyen

Un plan est à l'échelle 1:501:50. Une pièce y mesure 8,48{,}4 cm sur 6,26{,}2 cm.

  1. Calculer les dimensions réelles en centimètres.
  2. Les convertir en mètres.
  3. Calculer l'aire réelle.
  4. Calculer l'aire sur le plan.
  5. Comparer par le coefficient d'aire.
Indication

Les longueurs réelles sont cinquante fois celles du plan ; les aires sont 50250^2 fois plus grandes.

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  1. Les dimensions réelles sont 420420 cm et 310310 cm.
  2. Elles valent 4,24{,}2 m et 3,13{,}1 m.
  3. L'aire réelle vaut 13,02 m213{,}02\ \mathrm{m}^2.
  4. L'aire du plan vaut 8,4×6,2=52,08 cm28{,}4\times6{,}2=52{,}08\ \mathrm{cm}^2.
  5. 52,08×2500=130 200 cm2=13,02 m252{,}08\times2500=130\,200\ \mathrm{cm}^2=13{,}02\ \mathrm{m}^2.

Exercice 10 : Deux transformations successives

Difficile

Une image est agrandie avec k1=1,8k_1=1{,}8, puis réduite avec k2=0,5k_2=0{,}5.

  1. Calculer le coefficient global des longueurs.
  2. Qualifier la transformation globale.
  3. Calculer le coefficient global des aires.
  4. Calculer celui des volumes pour un solide semblable.
  5. Trouver le second coefficient qui aurait exactement annulé le premier.
Indication

Multipliez les coefficients, puis élevez le coefficient global au carré ou au cube.

Voir le corrigé
  1. k=1,8×0,5=0,9k=1{,}8\times0{,}5=0{,}9.
  2. La transformation globale est une réduction de 10%10\% sur les longueurs.
  3. Les aires sont multipliées par 0,92=0,810{,}9^2=0{,}81.
  4. Les volumes le sont par 0,93=0,7290{,}9^3=0{,}729.
  5. Il aurait fallu k2=1/1,8=5/9≈0,556k_2=1/1{,}8=5/9\approx0{,}556.
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