Théorèmes des milieux 4ème : 8 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les théorèmes des milieux en 4ème font choisir le résultat adapté selon que l'on cherche un parallélisme, une longueur ou un nouveau milieu. Le cours sur les trois propriétés des milieux rappelle leurs hypothèses.

La vérification des points situés sur les côtés est systématique. Certaines configurations conduisent aussi à reconnaître un parallélogramme à partir de ses propriétés.

Table des Matières

Prouver un parallélisme

Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.

Exercice 1 : Deux milieux donnés

Facile

Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC].

Donner les deux égalités traduisant les milieux.
Prouver que $(MN)\parallel(BC)$ .
Nommer précisément le théorème utilisé.

Indication

Les deux points sont les milieux de deux côtés du même triangle.

Voir le corrigé

$AM=MB$ et $AN=NC$ .
Dans le triangle ABC, M et N sont les milieux de [AB] et [AC]. Le segment joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième, donc $(MN)\parallel(BC)$ .
C'est le théorème de la droite des milieux.

Exercice 2 : Codage à interpréter

Moyen

Dans le triangle DEF, le codage indique $DG=GE$ avec $G\in[DE]$ , et $DH=HF$ avec $H\in[DF]$ .

Interpréter chaque codage.
Déduire un parallélisme.
Dire si connaître seulement $DG=GE$ aurait suffi.
Rédiger la preuve en trois phrases.

Indication

Une égalité de longueurs ne définit un milieu que si le point appartient au segment concerné.

Voir le corrigé

G est le milieu de [DE] et H celui de [DF].
$(GH)\parallel(EF)$ .
Non, un seul milieu ne permet pas d'appliquer ce théorème.
Dans le triangle DEF, G et H sont les milieux de deux côtés. D'après le théorème des milieux, la droite (GH) est parallèle à (EF).

Calculer une longueur

Le segment des milieux mesure la moitié du troisième côté, et réciproquement le troisième côté mesure son double.

Exercice 3 : Moitié du troisième côté

Facile

Dans ABC, I et J sont les milieux de [AB] et [AC]. On sait $BC=13{,}6$ cm.

Calculer IJ.
Expliquer pourquoi aucune mesure de AB ou AC n'est nécessaire.
Calculer BC si IJ était égal à $8{,}2$ cm.

Indication

Le segment des milieux vaut la moitié du troisième côté.

Voir le corrigé

$IJ=BC/2=6{,}8$ cm.
La propriété relie directement IJ et BC ; les deux autres côtés n'interviennent pas.
Si $IJ=8{,}2$ cm, alors $BC=2\times8{,}2=16{,}4$ cm.

Exercice 4 : Périmètre du triangle des milieux

Moyen

ABC a pour côtés $AB=10$ cm, $BC=14$ cm et $CA=12$ cm. I, J, K sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CA].

Calculer IJ, JK et KI.
Calculer le périmètre de IJK.
Comparer au périmètre de ABC.
Comparer les aires sans calcul détaillé.

Indication

Chaque côté du triangle des milieux est la moitié d'un côté du triangle initial.

Voir le corrigé

$IJ=AC/2=6$ cm, $JK=AB/2=5$ cm, $KI=BC/2=7$ cm.
Le périmètre de IJK vaut $18$ cm.
Celui de ABC vaut $36$ cm, donc il est doublé.
Les longueurs sont multipliées par $1/2$ , donc l'aire de IJK vaut $1/4$ de celle de ABC.

Reconnaître un second milieu

Une parallèle à un côté passant par le milieu d'un autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

Exercice 5 : Parallèle par un milieu

Facile

Dans le triangle RST, M est le milieu de [RS]. La parallèle à (ST) passant par M coupe [RT] en N.

Prouver que N est le milieu de [RT].
Écrire l'égalité de longueurs obtenue.
Donner $RN$ si $RT=9$ cm.

Indication

On connaît un milieu et une parallèle au troisième côté : utilisez la propriété correspondante.

Voir le corrigé

Dans RST, la droite passant par le milieu M de [RS] et parallèle à (ST) coupe [RT] en son milieu ; N est donc le milieu de [RT].
$RN=NT$ .
$RN=RT/2=4{,}5$ cm.

Exercice 6 : Une hypothèse oubliée

Moyen

Dans ABC, M appartient à [AB] et la droite par M parallèle à (BC) coupe [AC] en N. Un élève conclut que N est le milieu de [AC].

Dire si la conclusion est justifiée.
Identifier l'hypothèse manquante.
Ajouter une donnée qui rend la conclusion valide.
Donner un contre-exemple numérique par des rapports.

Indication

La parallèle seule ne suffit pas ; le point de départ doit être un milieu.

Voir le corrigé

La conclusion n'est pas justifiée.
Il manque le fait que M est le milieu de [AB].
Il suffit d'ajouter $AM=MB$ .
Si $AM/AB=1/3$ , la parallèle donne $AN/AC=1/3$ , donc N n'est pas le milieu.

Combiner les propriétés dans une preuve

Une démonstration complète peut produire d'abord un parallélisme, puis une longueur ou la nature d'un quadrilatère.

Exercice 7 : Quadrilatère intérieur

Difficile

Dans ABCD, les points E, F, G, H sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA].

Dans ABC, prouver $EF\parallel AC$ .
Dans CDA, prouver $HG\parallel AC$ .
Déduire $EF\parallel HG$ .
Établir de même $FG\parallel EH$ .
Conclure sur EFGH.

Indication

Appliquez le théorème des milieux dans chacun des quatre triangles formés par une diagonale.

Voir le corrigé

Dans ABC, E et F sont milieux, donc $EF\parallel AC$ .
Dans CDA, H et G sont milieux, donc $HG\parallel AC$ .
Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles : $EF\parallel HG$ .
Dans BCD et DAB, on obtient $FG\parallel BD$ et $EH\parallel BD$ , donc $FG\parallel EH$ .
Les côtés opposés sont parallèles deux à deux, donc EFGH est un parallélogramme.

Exercice 8 : Aire découpée

Difficile

Dans un triangle ABC d'aire $96\ \mathrm{cm}^2$ , M et N sont les milieux de [AB] et [AC].

Donner le coefficient de réduction de ABC vers AMN.
Calculer l'aire de AMN.
Calculer l'aire du quadrilatère MBCN.
Comparer MN et BC.
Expliquer le carré du coefficient pour les aires.

Indication

Les longueurs du petit triangle sont deux fois plus petites ; les aires utilisent deux dimensions.

Voir le corrigé

Le coefficient vaut $1/2$ .
L'aire est multipliée par $(1/2)^2=1/4$ , donc $96/4=24\ \mathrm{cm}^2$ .
Le quadrilatère vaut $96-24=72\ \mathrm{cm}^2$ .
$MN=BC/2$ .
Base et hauteur sont chacune multipliées par $1/2$ , donc leur produit par $1/4$ .