Équations 4ème : 13 exercices corrigés détaillés

Ces exercices corrigés sur les équations du premier degré en 4ème installent une méthode stable : identifier l'inconnue, conserver l'égalité, isoler la lettre et vérifier. Le cours sur la résolution et la mise en équation détaille chaque transformation autorisée.

Les expressions mobilisent la distributivité seulement lorsque cela simplifie réellement l'équation. Les problèmes exigent une phrase de conclusion adaptée au contexte.

Table des Matières

Tester une valeur et reconnaître une solution

Une solution rend les deux membres égaux après substitution ; un seul calcul différent suffit à l'écarter.

Exercice 1 : Vrai ou faux par substitution

Facile

Tester $x=4$ puis $x=-2$ dans l'équation $3x+5=17$ .

Calculer les deux membres pour $x=4$ .
Conclure pour $x=4$ .
Calculer les deux membres pour $x=-2$ .
Conclure pour $x=-2$ .

Indication

Remplacez $x$ dans le membre de gauche ; le membre de droite reste $17$ .

Voir le corrigé

Pour $x=4$ , $3\times4+5=17$ .
$4$ est donc solution.
Pour $x=-2$ , $3(-2)+5=-1$ , tandis que le second membre vaut $17$ .
$-2$ n'est pas solution.

Exercice 2 : Retrouver la bonne proposition

Facile

Parmi $-3$ , $0$ , $2$ et $5$ , chercher les solutions de $2(x-1)=x+4$ .

Tester les quatre nombres.
Déterminer l'unique solution proposée.
Résoudre ensuite l'équation pour confirmer.

Indication

Un test calcule séparément le membre de gauche et celui de droite.

Voir le corrigé

Les tests donnent une égalité seulement pour $x=6$ , qui ne figure pas dans la liste. Aucune valeur proposée n'est donc solution. En résolvant, $2x-2=x+4$ , puis $x=6$ , ce qui confirme que la liste était volontairement incomplète.

Résoudre des équations progressivement

On effectue la même opération sur les deux membres afin de préserver l'égalité.

Exercice 3 : Une opération à inverser

Facile

Résoudre $x+9=23$ , $x-7=-4$ , $5x=35$ et $\frac{x}{6}=-3$ .

Résoudre les quatre équations.
Vérifier chaque solution mentalement.

Indication

Utilisez l'opération inverse : soustraire, ajouter, diviser ou multiplier.

Voir le corrigé

Les solutions sont $x=14$ , $x=3$ , $x=7$ et $x=-18$ . Les substitutions donnent respectivement $23$ , $-4$ , $35$ et $-3$ , donc les quatre solutions sont vérifiées.

Exercice 4 : Deux étapes

Facile

Résoudre $3x+7=25$ , $8-2x=20$ et $\frac{x}{4}-5=2$ .

Résoudre la première équation.
Résoudre la deuxième.
Résoudre la troisième.

Indication

Commencez par supprimer le terme ajouté ou soustrait, puis traitez le coefficient de $x$ .

Voir le corrigé

$3x=18$ , donc $x=6$ .
$-2x=12$ , donc $x=-6$ .
$\frac{x}{4}=7$ , donc $x=28$ .

Chaque étape applique la même opération aux deux membres.

Exercice 5 : Inconnue des deux côtés

Moyen

Résoudre $7x-5=3x+19$ et $4-6x=10-2x$ .

Regrouper les termes en $x$ dans la première.
Résoudre la première.
Résoudre la seconde.
Vérifier les deux solutions.

Indication

Choisissez un côté pour les termes en $x$ et l'autre pour les constantes.

Voir le corrigé

$7x-3x=19+5$ , donc $4x=24$ .
La première solution est $x=6$ .
$-6x+2x=10-4$ , donc $-4x=6$ et $x=-\frac32$ .
Les substitutions donnent $37=37$ puis $13=13$ .

Exercice 6 : Parenthèses à développer

Moyen

Résoudre $3(2x-5)=4x+7$ et $5(x+2)-3=2(x-4)$ .

Développer les deux équations.
Résoudre la première.
Résoudre la seconde.
Contrôler les solutions dans les formes initiales.
Indiquer l'étape la plus sensible aux signes.

Indication

Développez avant de déplacer les termes. Dans $2(x-4)$ , le produit donne $2x-8$ .

Voir le corrigé

Les équations deviennent $6x-15=4x+7$ et $5x+10-3=2x-8$ .
$2x=22$ , donc $x=11$ .
$5x+7=2x-8$ , donc $3x=-15$ et $x=-5$ .
Pour $11$ , les deux membres valent $51$ . Pour $-5$ , ils valent $-18$ .
Le signe négatif de $-8$ et le déplacement de $7$ demandent le plus d'attention.

Diagnostiquer une copie et les cas particuliers

Une équation peut avoir une solution, aucune solution ou être vraie pour toutes les valeurs selon ce qui reste après réduction.

Exercice 7 : Le changement de côté magique

Moyen

Pour $5x-8=2x+13$ , Tom écrit $5x-2x=13-8$ , puis $3x=5$ .

Repérer la première erreur.
Expliquer la règle correcte.
Résoudre l'équation.
Vérifier la solution.

Indication

Le terme $-8$ doit être compensé par une addition de $8$ aux deux membres.

Voir le corrigé

L'erreur est $13-8$ : déplacer $-8$ vers la droite conduit à $13+8$ .
On ajoute $8$ aux deux membres puis on soustrait $2x$ aux deux membres.
$3x=21$ , donc $x=7$ .
$5\times7-8=27$ et $2\times7+13=27$ .

Exercice 8 : Égalité impossible ou toujours vraie

Difficile

Étudier $2(x+3)=2x+9$ et $4(x-1)+7=4x+3$ .

Développer la première et conclure.
Développer la seconde et conclure.
Expliquer la différence entre les deux cas.

Indication

Après réduction, observez s'il reste une égalité numérique vraie ou fausse.

Voir le corrigé

$2x+6=2x+9$ conduit à $6=9$ , impossible : aucune solution.
$4x-4+7=4x+3$ conduit à $4x+3=4x+3$ , vraie pour tout $x$ .
Dans le premier cas les termes en $x$ s'annulent mais les constantes diffèrent ; dans le second, les deux membres sont la même expression.

Exercice 9 : Quelle erreur produit cette réponse ?

Difficile

Une élève résout $2-3x=14$ et annonce $x=4$ .

Vérifier sa réponse.
Retrouver une erreur possible dans son raisonnement.
Donner la solution correcte.

Indication

Soustraire $2$ donne $-3x=12$ , puis il faut diviser par $-3$ .

Voir le corrigé

Pour $x=4$ , le membre gauche vaut $2-12=-10\neq14$ .
Elle a probablement oublié le signe négatif du coefficient en divisant $12$ par $3$ .
$-3x=12$ , donc $x=-4$ . Vérification : $2-3(-4)=14$ .

Mettre un problème en équation

Le choix de l'inconnue et la traduction des relations précèdent tout calcul.

Exercice 10 : Nombre pensé

Facile

Je pense à un nombre. Je le multiplie par $4$ , puis j'ajoute $7$ et j'obtiens $39$ .

Choisir une inconnue et écrire l'équation.
Résoudre.
Vérifier avec le programme.

Indication

Si $x$ est le nombre, le résultat du programme est $4x+7$ .

Voir le corrigé

L'équation est $4x+7=39$ .
$4x=32$ , donc $x=8$ .
$4\times8+7=39$ , la réponse est vérifiée.

Exercice 11 : Périmètre d’un rectangle

Moyen

La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $5$ cm. Son périmètre vaut $46$ cm.

Noter $x$ la largeur et exprimer la longueur.
Écrire l'équation du périmètre.
Résoudre.
Donner les deux dimensions.

Indication

Le demi-périmètre vaut $23$ cm, donc largeur plus longueur vaut $23$ .

Voir le corrigé

La largeur vaut $x$ et la longueur $x+5$ .
$2[x+(x+5)]=46$ , ou $x+x+5=23$ .
$2x=18$ , donc $x=9$ .
La largeur mesure $9$ cm et la longueur $14$ cm ; $2(9+14)=46$ .

Exercice 12 : Billets d’un spectacle

Difficile

Un groupe achète $18$ billets. Les billets adultes coûtent $12$ € et les billets jeunes $7$ €. La dépense totale est $156$ €.

Noter $x$ le nombre de billets adultes et exprimer le nombre de billets jeunes.
Écrire l'équation du prix.
Résoudre l'équation.
Donner la composition du groupe.
Vérifier le nombre de billets et le prix.

Indication

Le nombre de billets jeunes vaut $18-x$ .

Voir le corrigé

Il y a $x$ adultes et $18-x$ jeunes.
$12x+7(18-x)=156$ .
$12x+126-7x=156$ , donc $5x=30$ et $x=6$ .
Le groupe compte $6$ adultes et $12$ jeunes.
$6+12=18$ et $6\times12+12\times7=72+84=156$ €.

Exercice 13 : Âges dans quelques années

Difficile

Aujourd'hui, Léa a $8$ ans de plus que Samir. Dans $4$ ans, la somme de leurs âges sera $42$ ans.

Noter $x$ l'âge actuel de Samir.
Exprimer les deux âges dans quatre ans.
Écrire et résoudre l'équation.
Donner les âges actuels.
Contrôler la phrase de l'énoncé.

Indication

Dans quatre ans, Samir aura $x+4$ ans et Léa $x+12$ ans.

Voir le corrigé

Samir a $x$ ans et Léa $x+8$ ans.
Dans quatre ans : $x+4$ et $x+12$ .
$(x+4)+(x+12)=42$ , donc $2x+16=42$ , $2x=26$ , $x=13$ .
Samir a $13$ ans et Léa $21$ ans.
Dans quatre ans ils auront $17$ et $25$ ans, dont la somme vaut $42$ .