Calcul littéral 4ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de calcul littéral en 4ème font passer d'une phrase à une expression, puis d'une expression à une valeur ou à une forme réduite. Le cours sur les expressions, la réduction et la substitution précise le vocabulaire.

Les expressions contenant des carrés réemploient les conventions du calcul avec les puissances. Chaque exercice vise ainsi une décision identifiable plutôt qu’une suite de gestes mélangés.

Traduire une phrase ou un programme

Une lettre représente un nombre ; les parenthèses conservent l'ordre annoncé par la phrase.

Exercice 1 : Du vocabulaire aux symboles

Facile

On note xx un nombre. Traduire quatre expressions verbales.

  1. La somme du triple de xx et de 55.
  2. Le carré de la différence entre xx et 44.
  3. Le quotient de x+7x+7 par 33.
  4. La différence entre le carré de xx et le double de xx.
Indication

Repérez l'opération principale et placez des parenthèses autour de toute somme ou différence utilisée comme un seul terme.

Voir le corrigé
  1. 3x+53x+5.
  2. (x−4)2(x-4)^2.
  3. x+73\frac{x+7}{3}.
  4. x2−2xx^2-2x.

Dans les deuxième et troisième réponses, les parenthèses sont indispensables pour indiquer la portée du carré ou du quotient.

Exercice 2 : Programme de calcul

Moyen

On choisit un nombre, on lui retranche 66, on multiplie le résultat par 44, puis on ajoute le carré du nombre choisi.

  1. Écrire l'expression obtenue pour un nombre xx.
  2. Calculer le résultat pour x=3x=3.
  3. Calculer le résultat pour x=−2x=-2.
  4. Identifier les deux termes de l'expression.
Indication

La multiplication par 44 porte sur le résultat entier de la soustraction.

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  1. L'expression est 4(x−6)+x24(x-6)+x^2.
  2. Pour x=3x=3, elle vaut 4(−3)+9=−34(-3)+9=-3.
  3. Pour x=−2x=-2, elle vaut 4(−8)+4=−284(-8)+4=-28.
  4. Les deux termes sont 4(x−6)4(x-6) et x2x^2.

Substituer une valeur sans perdre les signes

Remplacer une lettre par un nombre négatif exige des parenthèses, surtout devant un carré ou un produit.

Exercice 3 : Valeurs d’une expression

Facile

Soit A=5x−3A=5x-3. Calculer AA pour x=4x=4, x=0x=0, x=−2x=-2 et x=12x=\frac12.

  1. Effectuer les quatre substitutions.
  2. Classer les résultats dans l'ordre croissant.
Indication

Écrivez d'abord 5×(valeur)−35\times(\text{valeur})-3, puis calculez.

Voir le corrigé

Les valeurs sont 1717, −3-3, −13-13 et −12-\frac12. Leur ordre croissant est −13<−3<−12<17-13\lt -3\lt -\frac12\lt 17. Les parenthèses rendent visible le produit 5×(−2)5\times(-2).

Exercice 4 : Carré et nombre négatif

Moyen

On donne B=2x2−3x+1B=2x^2-3x+1.

  1. Calculer BB pour x=−3x=-3.
  2. Calculer BB pour x=2x=2.
  3. Expliquer pourquoi (−3)2=9(-3)^2=9.
  4. Comparer les deux valeurs.
Indication

Substituez avec des parenthèses : 2(−3)2−3(−3)+12(-3)^2-3(-3)+1.

Voir le corrigé
  1. B(−3)=2×9+9+1=28B(-3)=2\times9+9+1=28.
  2. B(2)=2×4−6+1=3B(2)=2\times4-6+1=3.
  3. Le carré est le produit (−3)×(−3)(-3)\times(-3), donc il est positif.
  4. 28>328\gt 3.

Exercice 5 : Table de valeurs à vérifier

Moyen

Pour C=4−2tC=4-2t, une table annonce : C(−1)=2C(-1)=2, C(0)=4C(0)=4, C(3)=−2C(3)=-2.

  1. Vérifier les trois valeurs.
  2. Corriger les valeurs fausses.
  3. Trouver tt lorsque C=10C=10.
Indication

Pour t=−1t=-1, le terme −2t-2t devient −2×(−1)-2\times(-1).

Voir le corrigé
  1. C(−1)=4+2=6C(-1)=4+2=6, C(0)=4C(0)=4 et C(3)=4−6=−2C(3)=4-6=-2.
  2. Seule la première valeur est fausse ; elle doit être 66.
  3. 4−2t=104-2t=10, donc −2t=6-2t=6 et t=−3t=-3.

Réduire des termes semblables

Seuls les termes ayant exactement la même partie littérale peuvent être regroupés.

Exercice 6 : Collecter les coefficients

Facile

Réduire D=7x+3x−5D=7x+3x-5, E=4a−9+2a+6E=4a-9+2a+6 et F=5y2−2y+3y2+yF=5y^2-2y+3y^2+y.

  1. Réduire DD.
  2. Réduire EE.
  3. Réduire FF.
Indication

Regroupez les termes en xx, en aa, en y2y^2, en yy, puis les constantes.

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  1. D=10x−5D=10x-5.
  2. E=6a−3E=6a-3.
  3. F=8y2−yF=8y^2-y.

Les termes en y2y^2 ne peuvent pas être ajoutés directement aux termes en yy.

Exercice 7 : Réduction avec parenthèses simples

Moyen

Réduire G=3x+(5x−7)−2x+4G=3x+(5x-7)-2x+4 et H=8−(2a+3)+5aH=8-(2a+3)+5a.

  1. Supprimer les parenthèses de GG.
  2. Réduire GG.
  3. Supprimer les parenthèses de HH.
  4. Réduire HH.
Indication

Une parenthèse précédée de ++ ne change pas les signes ; précédée de −-, elle change tous les signes internes.

Voir le corrigé
  1. G=3x+5x−7−2x+4G=3x+5x-7-2x+4.
  2. G=6x−3G=6x-3.
  3. H=8−2a−3+5aH=8-2a-3+5a.
  4. H=3a+5H=3a+5.

Exercice 8 : Réduction impossible

Moyen

Noah écrit 3x+4=7x3x+4=7x et 2x2+5x=7x22x^2+5x=7x^2.

  1. Expliquer les deux erreurs.
  2. Proposer une valeur de xx qui réfute chaque égalité.
  3. Donner la forme réduite correcte.
Indication

Une constante, un terme en xx et un terme en x2x^2 ne sont pas semblables.

Voir le corrigé
  1. 3x3x et 44 ne sont pas semblables ; 2x22x^2 et 5x5x non plus.
  2. Pour x=1x=1, 3x+4=73x+4=7 et 7x=77x=7, ce cas ne réfute pas la première ; choisissons x=2x=2 : 10≠1410\neq14. Pour la seconde avec x=2x=2, 18≠2818\neq28.
  3. Les expressions sont déjà réduites : 3x+43x+4 et 2x2+5x2x^2+5x.

Comparer des expressions dans une situation

Une expression littérale permet de comparer des tarifs ou de prouver que deux programmes donnent toujours le même résultat.

Exercice 9 : Deux tarifs de location

Moyen

Le tarif A coûte 1212 € puis 33 € par heure. Le tarif B coûte 55 € par heure. On note hh le nombre d'heures.

  1. Exprimer les deux coûts.
  2. Calculer chaque coût pour h=4h=4.
  3. Trouver pour quelle durée les coûts sont égaux.
  4. Choisir le tarif le moins cher pour h=8h=8.
Indication

Écrivez A(h)=12+3hA(h)=12+3h et B(h)=5hB(h)=5h, puis comparez.

Voir le corrigé
  1. A(h)=12+3hA(h)=12+3h et B(h)=5hB(h)=5h.
  2. Pour 44 h, A=24A=24 € et B=20B=20 €.
  3. 12+3h=5h12+3h=5h donne 12=2h12=2h, donc h=6h=6.
  4. Pour 88 h, A=36A=36 € et B=40B=40 €, donc A est moins cher.

Exercice 10 : Périmètre littéral

Difficile

Un rectangle a pour longueur 2x+32x+3 cm et largeur x−1x-1 cm, avec x>1x\gt 1.

  1. Écrire son périmètre.
  2. Réduire l'expression.
  3. Calculer le périmètre pour x=5x=5.
  4. Retrouver xx si le périmètre vaut 3434 cm.
  5. Expliquer la condition x>1x\gt 1.
Indication

Le périmètre vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur.

Voir le corrigé
  1. P=2[(2x+3)+(x−1)]P=2[(2x+3)+(x-1)].
  2. P=2(3x+2)=6x+4P=2(3x+2)=6x+4.
  3. Pour x=5x=5, P=34P=34 cm.
  4. 6x+4=346x+4=34 donne x=5x=5.
  5. La largeur x−1x-1 doit être strictement positive pour représenter une longueur.
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