Ces exercices corrigés sur la notation scientifique en 4ème couvrent écriture décimale, puissance de 10, ordre de grandeur et opérations. Le cours sur les puissances de 10 et la notation scientifique explique comment déplacer la virgule sans deviner le signe de l’exposant.
Les calculs réutilisent les règles sur les puissances et imposent un contrôle final : le coefficient scientifique doit rester supérieur ou égal à \(1\) et strictement inférieur à \(10\).
Passer d’une écriture à l’autre
Le signe de l’exposant indique le sens du déplacement de la virgule, tandis que sa valeur indique le nombre de rangs.
Exercice 1 : Décimaux vers écriture scientifique
Facile
Écrire en notation scientifique \(45\,700\), \(0{,}0062\), \(813{,}5\) et \(0{,}00000091\).
- Convertir les quatre nombres et vérifier que chaque coefficient appartient à \([1;10[\).
Indication
Placez la virgule après le premier chiffre non nul, puis comptez les déplacements.
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On obtient \(4{,}57\times10^4\), \(6{,}2\times10^{-3}\), \(8{,}135\times10^2\) et \(9{,}1\times10^{-7}\). Les coefficients \(4{,}57\), \(6{,}2\), \(8{,}135\) et \(9{,}1\) sont bien compris entre \(1\) et \(10\).
Exercice 2 : Retour à l’écriture décimale
Facile
Donner l’écriture décimale de \(7{,}04\times10^5\), \(3{,}8\times10^{-4}\), \(1{,}002\times10^3\) et \(9\times10^{-1}\).
- Convertir chaque nombre.
- Classer les quatre résultats dans l’ordre croissant.
- Identifier ceux qui sont inférieurs à \(1\).
Indication
Un exposant positif déplace la virgule vers la droite ; un exposant négatif la déplace vers la gauche.
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- Les nombres sont \(704\,000\), \(0{,}00038\), \(1\,002\) et \(0{,}9\).
- \(0{,}00038<0{,}9<1\,002<704\,000\).
- Les deux écritures ayant un exposant négatif sont ici inférieures à \(1\).
Exercice 3 : Corriger une notation non scientifique
Moyen
Normaliser \(0{,}42\times10^7\), \(38{,}1\times10^{-5}\) et \(125\times10^2\).
- Écrire les trois nombres en notation scientifique.
- Expliquer comment l’exposant compense le déplacement de la virgule.
Indication
Quand le coefficient est multiplié par \(10\), la puissance doit être divisée par \(10\), et inversement.
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\(0{,}42\times10^7=4{,}2\times10^6\), \(38{,}1\times10^{-5}=3{,}81\times10^{-4}\) et \(125\times10^2=1{,}25\times10^4\). La valeur reste constante car chaque déplacement de la virgule est compensé par une variation opposée de l’exposant.
Calculer avec des puissances de 10
On regroupe séparément les coefficients et les puissances, puis on normalise le coefficient obtenu.
Exercice 4 : Produits scientifiques
Facile
Calculer \(A=(3\times10^4)(2\times10^5)\) et \(B=(4{,}5\times10^{-3})(2\times10^7)\).
- Calculer \(A\).
- Calculer \(B\).
- Donner chaque résultat en notation scientifique.
Indication
Multipliez les coefficients et additionnez les exposants.
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- \(A=6\times10^9\).
- \(B=9\times10^4\).
- Les coefficients \(6\) et \(9\) sont déjà normalisés, donc ces écritures sont scientifiques.
Exercice 5 : Quotients à normaliser
Moyen
Calculer \(C=\frac{8{,}4\times10^9}{2\times10^3}\) et \(D=\frac{3\times10^{-4}}{6\times10^2}\).
- Séparer coefficients et puissances.
- Calculer \(C\).
- Calculer \(D\).
- Normaliser si nécessaire.
Indication
Dans un quotient, soustrayez les exposants. Le coefficient \(0{,}5\) doit ensuite devenir \(5\times10^{-1}\).
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- \(C=(8{,}4/2)\times10^{9-3}\) et \(D=(3/6)\times10^{-4-2}\).
- \(C=4{,}2\times10^6\).
- \(D=0{,}5\times10^{-6}\).
- La notation scientifique de \(D\) est \(5\times10^{-7}\).
Exercice 6 : Sommes avec exposants différents
Difficile
Calculer \(E=2{,}7\times10^6+4{,}5\times10^5\) et \(F=8{,}2\times10^{-3}-6\times10^{-4}\).
- Mettre les termes de \(E\) à la même puissance de 10.
- Calculer \(E\).
- Mettre les termes de \(F\) à la même puissance.
- Calculer \(F\).
- Contrôler les deux ordres de grandeur.
Indication
On ne peut additionner directement les coefficients que si les puissances de 10 sont identiques.
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- \(4{,}5\times10^5=0{,}45\times10^6\).
- \(E=3{,}15\times10^6\).
- \(6\times10^{-4}=0{,}6\times10^{-3}\).
- \(F=7{,}6\times10^{-3}\).
- Le premier résultat reste de l’ordre du million ; le second reste proche du centième, ce qui confirme les exposants.
Encadrer et estimer un ordre de grandeur
L’ordre de grandeur aide à comparer des quantités et à détecter un exposant incohérent.
Exercice 7 : Entre deux puissances consécutives
Moyen
Encadrer \(38\,500\), \(0{,}0047\) et \(6{,}2\times10^8\) entre deux puissances de \(10\) consécutives.
- Encadrer les trois nombres.
- Donner leur notation scientifique.
- Associer à chacun la puissance de 10 la plus proche.
Indication
Repérez d’abord le rang du premier chiffre non nul.
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- \(10^4<38\,500<10^5\), \(10^{-3}<0{,}0047<10^{-2}\), et \(10^8<6{,}2\times10^8<10^9\).
- Les écritures sont \(3{,}85\times10^4\), \(4{,}7\times10^{-3}\) et \(6{,}2\times10^8\).
- Les puissances les plus proches sont respectivement \(10^4\), \(10^{-2}\) et \(10^9\).
Exercice 8 : Détecter un exposant impossible
Moyen
Une calculatrice affiche pour \(4{,}8\times10^6\times3{,}1\times10^{-2}\) le résultat \(1{,}488\times10^{-7}\).
- Sans calcul exact, expliquer pourquoi l’exposant est impossible.
- Calculer le résultat correct.
- Identifier une erreur de saisie plausible.
Indication
Le produit de \(10^6\) et \(10^{-2}\) est \(10^4\), pas une très petite puissance.
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- Le résultat doit être proche de \(5\times3\times10^4\), donc de \(1{,}5\times10^5\), et non de \(10^{-7}\).
- \(4{,}8\times3{,}1=14{,}88\), donc le résultat est \(14{,}88\times10^4=1{,}488\times10^5\).
- Une soustraction ou un signe négatif mal saisi dans l’exposant peut expliquer l’affichage erroné.
Utiliser la notation scientifique dans un problème
Les unités et l’interprétation finale restent indispensables, même lorsque les nombres sont très grands ou très petits.
Exercice 9 : Distance parcourue par la lumière
Moyen
La lumière parcourt environ \(3\times10^5\) km par seconde. Une minute compte \(60\) secondes.
- Exprimer \(60\) comme \(6\times10^1\).
- Calculer la distance parcourue en une minute.
- Donner le résultat en notation scientifique et en écriture décimale.
Indication
Multipliez vitesse par durée, puis normalisez le coefficient.
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- \(60=6\times10^1\).
- \((3\times10^5)(6\times10^1)=18\times10^6\) km.
- La distance vaut \(1{,}8\times10^7\) km, soit \(18\,000\,000\) km.
Exercice 10 : Mémoire d’un capteur
Difficile
Un capteur enregistre \(2{,}4\times10^3\) octets par seconde pendant \(3{,}6\times10^3\) secondes. Sa mémoire disponible vaut \(1{,}0\times10^7\) octets.
- Calculer le volume enregistré.
- Normaliser le résultat.
- Décider si la mémoire suffit.
- Calculer la mémoire restante.
- Donner un pourcentage approximatif d’occupation.
Indication
Comparez les deux quantités après les avoir écrites avec la même puissance de \(10\).
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- Le volume vaut \((2{,}4\times10^3)(3{,}6\times10^3)=8{,}64\times10^6\) octets.
- Le coefficient est déjà normalisé.
- \(8{,}64\times10^6<1{,}0\times10^7\), donc la mémoire suffit.
- Il reste \(10\times10^6-8{,}64\times10^6=1{,}36\times10^6\) octets.
- L’occupation est environ \(86{,}4\%\).
Exercice 11 : Taille d’une bactérie
Difficile
Une bactérie mesure \(2{,}5\times10^{-6}\) m. On aligne \(4\times10^5\) bactéries sans espace.
- Calculer la longueur totale en mètres.
- Exprimer cette longueur en centimètres.
- Comparer le résultat à \(1\) m.
- Expliquer pourquoi les exposants s’annulent presque.
Indication
Dans le produit, additionnez \(-6\) et \(5\), puis normalisez le coefficient.
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- \((2{,}5\times10^{-6})(4\times10^5)=10\times10^{-1}=1\) m.
- Un mètre vaut \(100\) cm.
- La longueur est exactement égale à \(1\) m dans ce modèle.
- Les exposants donnent \(10^{-1}\), mais le produit des coefficients vaut \(10\), soit \(10^1\), ce qui conduit à \(10^0=1\).