Nombres relatifs 4ème : 12 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les nombres relatifs en 4ème entraînent à déterminer un signe avant de calculer, à respecter les priorités et à contrôler la vraisemblance d’un résultat. Le cours sur la multiplication, la division et les priorités fournit les règles nécessaires.

La progression alterne automatismes, raisonnements, erreurs à diagnostiquer et problèmes. Elle prolonge le travail sur les priorités opératoires sans réduire la leçon à une liste de signes à mémoriser.

Déterminer le signe d’un produit ou d’un quotient

On sépare deux décisions : compter les facteurs négatifs, puis calculer avec les distances à zéro.

Exercice 1 : Signe avant calcul

Facile

On considère \(A=(-7)\times5\), \(B=(-8)\times(-3)\), \(C=54\div(-6)\) et \(D=(-72)\div(-9)\).

  1. Prévoir le signe de chaque résultat sans effectuer le calcul, puis calculer les quatre valeurs.
Indication

Un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif ; un nombre pair en donne un positif.

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\(A\) et \(C\) sont négatifs, tandis que \(B\) et \(D\) sont positifs. Ainsi \(A=-35\), \(B=24\), \(C=-9\) et \(D=8\). Le signe a été fixé avant le calcul des valeurs absolues.

Exercice 2 : Compter les facteurs négatifs

Facile

Étudier \(E=(-2)\times(-5)\times3\times(-4)\) et \(F=(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\).

  1. Prévoir le signe de \(E\) et de \(F\).
  2. Calculer \(E\).
  3. Calculer \(F\).
  4. Expliquer l’effet d’un facteur négatif supplémentaire.
Indication

Comptez les signes moins : trois dans \(E\), quatre dans \(F\).

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  1. \(E\) est négatif et \(F\) positif.
  2. \(E=-(2\times5\times3\times4)=-120\).
  3. \(F=1\times2\times3\times4=24\).
  4. Ajouter un facteur négatif inverse le signe du produit, car la parité du nombre de facteurs négatifs change.

Exercice 3 : Quotients à compléter

Moyen

Compléter \(63\div\square=-9\), \(\square\div(-8)=-6\) et \((-45)\div\square=5\).

  1. Trouver les trois nombres manquants.
  2. Vérifier chaque réponse par une multiplication.
  3. Indiquer lequel des nombres manquants est positif.
Indication

Utilisez l’égalité dividende = diviseur multiplié par quotient.

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  1. Les nombres sont \(-7\), \(48\) et \(-9\).
  2. \((-7)\times(-9)=63\), \((-8)\times(-6)=48\) et \((-9)\times5=-45\).
  3. Seul \(48\) est positif. Dans la deuxième égalité, deux nombres négatifs ont pour produit un nombre positif.

Calculer avec des priorités

Les parenthèses sont traitées en premier, puis produits et quotients, enfin sommes et différences.

Exercice 4 : Produits cachés dans une somme

Facile

Calculer \(G=-6+4\times(-5)\), \(H=18-(-3)\times7\) et \(I=-24\div6+9\).

  1. Calculer \(G\).
  2. Calculer \(H\).
  3. Calculer \(I\).
Indication

Ne commencez pas par l’addition ou la soustraction : le produit et le quotient sont prioritaires.

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  1. \(G=-6-20=-26\).
  2. \(H=18-(-21)=18+21=39\).
  3. \(I=-4+9=5\).

Le double signe de \(H\) correspond à soustraire un nombre négatif.

Exercice 5 : Parenthèses et double signe

Moyen

On donne \(J=(-8+3)\times(-6)\) et \(K=-8+3\times(-6)\).

  1. Calculer \(J\) et \(K\).
  2. Comparer les deux résultats.
  3. Décrire précisément le rôle des parenthèses.
Indication

Dans \(J\), la somme entière est un facteur ; dans \(K\), seul \(3\times(-6)\) est prioritaire.

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  1. \(J=(-5)\times(-6)=30\) et \(K=-8-18=-26\).
  2. Les résultats ont même des signes opposés.
  3. Les parenthèses font de \(-8+3\) un seul facteur. Sans elles, la multiplication de \(3\) par \(-6\) est effectuée avant l’addition de \(-8\).

Exercice 6 : Chaîne de divisions

Moyen

Calculer \(L=(-96)\div8\times(-3)\) et \(M=(-96)\div[8\times(-3)]\).

  1. Calculer \(L\) de gauche à droite.
  2. Calculer \(M\).
  3. Expliquer pourquoi les valeurs diffèrent.
  4. Donner une écriture de \(L\) sous forme de fraction unique.
Indication

Une division suivie d’une multiplication n’autorise pas à regrouper les deux derniers nombres sans parenthèses.

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  1. \(L=-12\times(-3)=36\).
  2. \(M=(-96)\div(-24)=4\).
  3. Dans \(M\), les crochets imposent le calcul du diviseur entier ; dans \(L\), division et multiplication se suivent de gauche à droite.
  4. \(L=\frac{-96}{8}\times(-3)=36\).

Exercice 7 : Calcul imbriqué

Difficile

Évaluer \(N=-4\times[7-3\times(-2)]+18\div(-3)\).

  1. Calculer le contenu des crochets.
  2. Achever le calcul.
  3. Donner un ordre de grandeur du résultat.
  4. Identifier toutes les étapes où une règle de signes intervient.
  5. Vérifier le résultat en développant \(-4[7-3(-2)]\).
Indication

À l’intérieur des crochets, commencez par \(3\times(-2)\), puis traitez la soustraction d’un négatif.

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  1. \(7-3\times(-2)=7-(-6)=13\).
  2. \(N=-4\times13-6=-52-6=-58\).
  3. Le premier terme vaut environ \(-50\) et le second \(-6\), donc \(-58\) est cohérent.
  4. Les signes interviennent dans \(3\times(-2)\), dans \(7-(-6)\), dans \(-4\times13\) et dans \(18\div(-3)\).
  5. En développant, \(-28+12\times(-2)-6=-28-24-6=-58\).

Comparer des méthodes et corriger des erreurs

Une règle comprise permet de repérer la première étape fausse au lieu de recommencer au hasard.

Exercice 8 : La copie de Mehdi

Moyen

Mehdi écrit \((-3)\times(-5)\times(-2)=-(3\times5\times2)=-30\).

  1. Dire si son résultat est correct.
  2. Repérer la contradiction dans sa justification.
  3. Écrire une correction courte et rigoureuse.
Indication

Il y a trois facteurs négatifs. Vérifiez si le signe annoncé et le calcul final racontent la même chose.

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  1. Le résultat \(-30\) est correct.
  2. La ligne \(-(3\times5\times2)\) est cohérente avec trois facteurs négatifs ; il n’y a pas de contradiction mathématique. L’erreur serait de dire que deux signes moins seulement ont été pris en compte.
  3. Rédaction : trois facteurs sont négatifs, donc le produit est négatif ; sa distance à zéro vaut \(3\times5\times2=30\), d’où \(-30\).

Exercice 9 : Deux expressions presque identiques

Difficile

Comparer sans calculatrice \(P=-12\div(-3+1)\) et \(Q=-12\div(-3)+1\).

  1. Calculer les deux valeurs.
  2. Déterminer la plus grande.
  3. Proposer une phrase qui distingue leur structure.
Indication

Dans \(P\), le diviseur est la somme entre parenthèses. Dans \(Q\), \(1\) est ajouté après la division.

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  1. \(P=-12\div(-2)=6\), tandis que \(Q=4+1=5\).
  2. Donc \(P>Q\).
  3. \(P\) est le quotient de \(-12\) par la somme de \(-3\) et \(1\) ; \(Q\) est la somme du quotient de \(-12\) par \(-3\) et de \(1\).

Interpréter un résultat relatif

Dans un problème, le signe porte une information : altitude, variation, dette ou déplacement orienté.

Exercice 10 : Température en montagne

Facile

À 6 h, la température est de \(-4\ ^\circ\mathrm{C}\). Elle baisse de \(3\ ^\circ\mathrm{C}\), remonte de \(8\ ^\circ\mathrm{C}\), puis baisse deux fois de \(2\ ^\circ\mathrm{C}\).

  1. Écrire une expression unique.
  2. Calculer la température finale.
Indication

Une baisse est une variation négative ; deux baisses de \(2\) donnent \(2\times(-2)\).

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L’expression est \(-4-3+8+2\times(-2)\). On obtient \(-7+8-4=1-4=-3\). La température finale est donc de \(-3\ ^\circ\mathrm{C}\).

Exercice 11 : Profondeur d’un plongeur

Moyen

Un plongeur est à \(-18\) m. Il effectue trois remontées identiques et atteint \(-6\) m.

  1. Calculer la variation totale d’altitude.
  2. Déterminer la variation à chaque remontée.
  3. Interpréter le signe positif obtenu.
  4. Vérifier en reconstituant les trois positions intermédiaires.
Indication

La variation totale est position finale moins position initiale.

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  1. La variation totale vaut \(-6-(-18)=12\) m.
  2. Chaque remontée vaut \(12\div3=4\) m.
  3. Le signe positif indique un déplacement vers la surface.
  4. Les positions sont \(-14\) m, \(-10\) m puis \(-6\) m.

Exercice 12 : Score d’un tournoi

Difficile

Une équipe reçoit \(5\) points par victoire et perd \(3\) points par défaite. Elle joue \(9\) matchs, dont \(4\) victoires, sans match nul. Une pénalité finale de \(7\) points est appliquée.

  1. Déterminer le nombre de défaites.
  2. Écrire le calcul du score avec des nombres relatifs.
  3. Calculer le score final.
  4. Trouver combien de victoires auraient été nécessaires pour obtenir au moins \(10\) points avec le même nombre de matchs et la même pénalité.
  5. Contrôler la dernière réponse par un essai voisin.
Indication

Si \(v\) est le nombre de victoires, le nombre de défaites vaut \(9-v\) et le score vaut \(5v-3(9-v)-7\).

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  1. Il y a \(9-4=5\) défaites.
  2. Le score est \(4\times5+5\times(-3)-7\).
  3. Il vaut \(20-15-7=-2\).
  4. Avec \(v\) victoires, \(5v-3(9-v)-7=8v-34\). Il faut \(8v-34\geq10\), donc \(v\geq5{,}5\). Six victoires sont nécessaires.
  5. Avec cinq victoires, le score vaut \(6\), insuffisant ; avec six, il vaut \(14\).
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