Agrandissement et réduction 4ème : cours et méthodes

Un agrandissement ou une réduction en 4ème conserve la forme d'une figure tout en multipliant toutes ses longueurs par un même nombre. Ce nombre, appelé coefficient, permet de passer d'une maquette à l'objet réel, d'une carte au terrain ou d'un petit solide à un modèle plus grand.

La difficulté centrale est de ne pas appliquer le même facteur aux longueurs, aux aires et aux volumes. Une longueur dépend d'une dimension, une aire de deux dimensions et un volume de trois : les facteurs deviennent donc respectivement $k$ , $k^2$ et $k^3$ .

Table des Matières

Reconnaître un agrandissement ou une réduction

Transformation à l’échelle

Une figure est un agrandissement ou une réduction d'une autre lorsque toutes les longueurs correspondantes sont multipliées par un même coefficient positif $k$ , tandis que les angles sont conservés.

Deux figures semblables liées par un coefficient d'agrandissement — Deux figures de même forme : les côtés correspondants gardent tous le même rapport.

Valeur de $k$	Transformation	Conséquence
$k\gt 1$	agrandissement	les longueurs augmentent
$0\lt k\lt 1$	réduction	les longueurs diminuent
$k=1$	reproduction	la taille ne change pas

Calculer le coefficient et une longueur manquante

On choisit deux longueurs qui se correspondent et on garde toujours le même ordre dans le quotient :

k=\frac{\text{longueur d'arrivée}}{\text{longueur de départ}}.

Un segment de $6\ \mathrm{cm}$ devient un segment de $15\ \mathrm{cm}$ . Le coefficient vaut $15\div6=2,5$ . Une autre longueur de $8\ \mathrm{cm}$ devient alors $8\times2,5=20\ \mathrm{cm}$ .

Erreur fréquente : le coefficient n'a pas d'unité, mais les deux longueurs du quotient doivent être exprimées dans la même unité. Diviser des centimètres par des mètres sans conversion produit un nombre dépourvu de sens.

Comprendre l’effet sur les périmètres et les aires

Longueurs et aires

Dans une transformation de coefficient $k$ , toutes les longueurs et tous les périmètres sont multipliés par $k$ , tandis que toutes les aires sont multipliées par $k^2$ .

Si les côtés d'un rectangle sont multipliés par $3$ , son aire devient :

(3L)\times(3\ell)=3^2\times L\ell=9A.

Une aire initiale de $12\ \mathrm{cm^2}$ devient donc $108\ \mathrm{cm^2}$ . Cette démonstration évite de mémoriser $k^2$ comme une formule isolée.

Déterminer l’effet sur les volumes

Volumes

Lorsqu'un solide est agrandi ou réduit avec le coefficient $k$ , son volume est multiplié par $k^3$ .

Un cube dont l'arête est doublée contient huit fois le volume initial, car chacune de ses trois dimensions est doublée :

(2a)^3=2^3a^3=8a^3.

À l'inverse, une réduction de coefficient $0,5$ multiplie le volume par $0,5^3=0,125$ , soit un huitième. Les formules de volumes étudiées en 6ème donnent le même résultat si l'on remplace chaque dimension.

Passer d’une échelle à la réalité

Échelle

L'échelle est le quotient d'une longueur sur la représentation par la longueur réelle correspondante, après conversion dans la même unité.

À l'échelle $1:25\,000$ , un centimètre sur la carte représente $25\,000\ \mathrm{cm}$ , soit $250\ \mathrm{m}$ dans la réalité. Une distance de $7,2\ \mathrm{cm}$ sur la carte représente donc $1,8\ \mathrm{km}$ .

Ce calcul est une situation de proportionnalité : la même multiplication transforme toutes les distances de la carte en distances réelles.

Astuce : écrire une flèche avec le facteur et l'unité à chaque étape : cm sur le plan, cm réels, puis m ou km. Cette chaîne rend les conversions auditables.

Retrouver un coefficient à partir d’une aire ou d’un volume

Si l'on connaît le rapport des aires, le coefficient des longueurs est sa racine carrée. Si l'on connaît le rapport des volumes, il faut chercher le nombre positif dont le cube donne ce rapport.

Information connue	Coefficient des longueurs
aire multipliée par 25	$k=5$
aire divisée par 16	$k=1/4$
volume multiplié par 64	$k=4$
volume divisé par 27	$k=1/3$

Un pourcentage appliqué à une longueur ne produit donc pas le même pourcentage sur l'aire. Une augmentation de longueur de 20 % correspond au coefficient $1,2$ , puis à un facteur d'aire $1,2^2=1,44$ , soit une hausse de 44 %. Le cours sur les coefficients multiplicateurs permet de suivre ce passage sans approximation.

Contrôler la cohérence d’un résultat

Identifier clairement la figure de départ et celle d'arrivée.
Vérifier si $k$ annonce une réduction ou un agrandissement.
Choisir $k$ , $k^2$ ou $k^3$ selon la grandeur demandée.
Contrôler les unités et l'ordre de grandeur.

Erreur fréquente : si $k=3$ , une aire n'est pas multipliée par 6 et un volume n'est pas multiplié par 9. Additionner les dimensions n'a aucun fondement : on multiplie les facteurs.

Traiter une maquette avec plusieurs échelles

Une maquette au $1:50$ est photographiée puis l'image est imprimée avec un agrandissement de coefficient 1,2. Pour relier une longueur imprimée à la longueur réelle, on compose les transformations : le rapport impression/réalité vaut $1,2/50=0,024$ .

Une longueur réelle de 3 m, soit 300 cm, apparaîtra donc avec $300\times0,024=7,2$ cm. Écrire chaque passage séparément évite de confondre l'échelle de la maquette avec celle de l'impression.

k_{\mathrm{global}}=k_1\times k_2.

Vérifier un plan de rénovation à l’échelle

Un plan au $1:80$ représente une pièce rectangulaire par 6,5 cm sur 4 cm. Les dimensions réelles valent $6,5\times80=520$ cm et $4\times80=320$ cm, soit 5,2 m sur 3,2 m.

L'aire réelle est $5,2\times3,2=16,64\ \mathrm{m^2}$ . Multiplier directement l'aire du plan, $26\ \mathrm{cm^2}$ , par 80 serait faux : une aire est multipliée par $80^2$ . On obtient bien $26\times6\,400=166\,400\ \mathrm{cm^2}=16,64\ \mathrm{m^2}$ . Les deux méthodes concordent et constituent un contrôle mutuel.

26\times80^2=166\,400\ \mathrm{cm^2}.

Le périmètre réel peut se calculer par $2(5,2+3,2)=16,8$ m. Sur le plan, il vaut 21 cm ; multiplier par 80 donne 1 680 cm, soit le même résultat. Les longueurs suivent le facteur 80, tandis que l'aire suit son carré. Comparer ces deux contrôles empêche d'intervertir les exposants.

Agrandissement et réduction 4ème : l’essentiel à retenir

Dans un agrandissement ou une réduction en 4ème, le coefficient $k$ agit sur les longueurs, $k^2$ sur les aires et $k^3$ sur les volumes. Les angles et la forme sont conservés, mais les unités doivent être harmonisées avant tout quotient.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie ces transformations aux échelles, à la proportionnalité et à l'étude des solides : le choix du bon facteur est donc aussi important que le calcul.