Une translation en 4ème déplace chaque point d'une figure de la même façon, sans la tourner ni la déformer. La translation qui transforme en impose une direction, un sens et une longueur ; elle peut être reproduite depuis n'importe quel autre point.
Sur un quadrillage, ce déplacement se lit en cases. Sur papier blanc, il se construit grâce aux parallèles et aux longueurs, ou à l'aide d'un parallélogramme. Les propriétés de conservation permettent ensuite de construire une figure sans recommencer chaque mesure.
Définir un glissement par trois informations
Translation
La translation qui transforme en est le déplacement rectiligne de direction (), de sens de vers et de longueur .
La direction désigne une famille de droites parallèles ; elle ne contient pas à elle seule le sens. Deux déplacements opposés peuvent avoir la même direction mais des sens contraires.
Construire l’image d’un point sur quadrillage
- Lire le déplacement qui conduit de à , par exemple quatre cases à droite et deux vers le haut.
- Partir du point à transformer.
- Reproduire exactement le même déplacement.
- Nommer le point obtenu (M').
Le déplacement peut être reproduit horizontalement puis verticalement ou dans l'ordre inverse. L'arrivée est la même, car les variations de coordonnées s'additionnent.
Erreur fréquente : la translation qui transforme en n'est pas celle qui transforme en : elles ont des sens opposés.
Construire sans quadrillage grâce au parallélogramme
Caractérisation par un parallélogramme
Si (M') est l'image de par la translation qui transforme en , alors le quadrilatère (ABM'M), pris dans cet ordre, est un parallélogramme.
On trace par la parallèle à (), puis on reporte la longueur dans le bon sens. Une autre construction consiste à tracer les deux côtés manquants du parallélogramme.
Construire l’image d’une figure
Pour un polygone, on construit l'image de chaque sommet puis on relie les sommets images dans le même ordre. Pour un cercle, il suffit de translater son centre et de conserver le rayon.
Ce qu’une translation conserve
Une translation conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme, la perpendicularité, les aires et l'orientation de la figure.
Si un triangle est rectangle avant la translation, son image reste rectangle. Si est le milieu de ([AB]), son image (I') est le milieu de ([A'B']).
Reconnaître une translation dans une frise ou un pavage
Une frise se reproduit par un déplacement répété dans une même direction. Pour identifier la translation, on choisit un point remarquable du motif et son image correspondante ; la flèche entre eux définit le déplacement.
Une rotation ferait tourner le motif autour d'un point ; une symétrie le retournerait. Observer l'orientation des détails permet de distinguer ces transformations.
Coordonnées d’un point translaté
Si la translation ajoute à l'abscisse et à l'ordonnée, l'image de (M) est (M'(x+a;y+b)).
Cette méthode reprend les variations étudiées dans le repérage dans le plan. Elle complète la construction géométrique sans la remplacer.
Programme de construction et justification
Pour construire l'image (C') de par la translation qui transforme en :
- tracer la parallèle à () passant par ;
- sur cette droite, reporter la longueur depuis , dans le sens de vers ;
- nommer (C') le point obtenu.
La justification cite direction, sens et longueur. Le cours sur les parallélogrammes en 5ème fournit une seconde méthode de construction.
Astuce : tracer une petite flèche de vers avant toute construction. Elle fixe simultanément direction, sens et longueur.
Composer deux translations
Effectuer une première translation puis une seconde revient à additionner leurs déplacements. Un déplacement de 4 carreaux vers la droite et 2 vers le haut, suivi de 1 carreau vers la gauche et 5 vers le haut, donne finalement 3 carreaux vers la droite et 7 vers le haut.
L'ordre des deux translations ne change pas le déplacement final, car les variations horizontales et verticales s'additionnent séparément. Cette propriété permet de simplifier une suite de déplacements sur quadrillage.
Déterminer un point antécédent par une translation
Si la translation qui transforme A en B envoie M sur M', retrouver M à partir de M' consiste à effectuer la translation inverse, celle qui transforme B en A. Les deux déplacements ont même longueur et même direction, mais des sens opposés.
Ce raisonnement est utile lorsqu'une figure image est donnée et qu'il faut reconstruire la figure d'origine. Il évite de traiter l'image comme une nouvelle construction sans lien avec le vecteur imposé.
Erreur fréquente : la translation inverse ne change pas la direction du déplacement ; elle en change seulement le sens.
Retrouver un déplacement à partir de deux images
Une translation envoie sur . Le déplacement est de 5 unités selon les abscisses et de −2 selon les ordonnées. Elle envoie donc sur .
Pour contrôler, les segments [AA'] et [MM'] doivent être parallèles, de même longueur et de même sens. Cette propriété reste vraie même si une partie de la figure sort du quadrillage. Les coordonnées traduisent le déplacement ; elles ne changent ni les longueurs ni les angles de la figure déplacée.
Le déplacement peut aussi être lu en sens inverse : de vers , il vaut . Les deux translations sont réciproques. En revanche, changer seulement un signe, par exemple utiliser , construit une autre image. Un contrôle coordonnée par coordonnée est plus sûr qu'une appréciation visuelle de la direction.
Translation 4ème : l’essentiel à retenir
Une translation en 4ème reproduit partout le même déplacement. Sur quadrillage, on reporte des cases ; sans quadrillage, on utilise parallèles, longueur et parallélogramme. La figure image conserve toutes les mesures et relations géométriques utiles.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie cette transformation aux frises, aux pavages et à la reconnaissance des parallélogrammes.