Translation 4ème : 8 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur la translation en 4ème font décrire un déplacement, construire des images et utiliser les longueurs et angles conservés. Le cours sur la définition et les propriétés de la translation fixe les méthodes.

Décrire le déplacement d’un point réemploie les coordonnées du repérage dans le plan. Les exercices ne reposent pas seulement sur l’aspect visuel d’une flèche.

Décrire et appliquer un déplacement

Une translation est déterminée par une direction, un sens et une longueur identiques pour tous les points.

Exercice 1 : Déplacement sur quadrillage

Facile

La translation transforme A(1;2)A(1;2) en A′(5;−1)A'(5;-1).

  1. Décrire le déplacement horizontal et vertical.
  2. Construire mentalement l'image de B(−3;4)B(-3;4).
  3. Donner l'image de l'origine.
  4. Vérifier que les écarts sont identiques.
Indication

De A à A', on ajoute 44 à l'abscisse et on retranche 33 à l'ordonnée.

Voir le corrigé
  1. Le déplacement est de 44 à droite et 33 vers le bas.
  2. B′(1;1)B'(1;1).
  3. O′(4;−3)O'(4;-3).
  4. Les trois paires ont pour variation (+4;−3)(+4;-3).

Exercice 2 : Retrouver le point initial

Moyen

Une translation de déplacement (−2;+5)(-2;+5) envoie un point M sur M′(4;1)M'(4;1).

  1. Trouver M.
  2. Donner l'image de N(0;−3)N(0;-3).
  3. Écrire la règle sur les coordonnées.
  4. Décrire la translation inverse.
Indication

Pour retrouver M, appliquez le déplacement opposé à M'.

Voir le corrigé
  1. M(6;−4)M(6;-4).
  2. N′(−2;2)N'(-2;2).
  3. (x;y)↦(x−2;y+5)(x;y)\mapsto(x-2;y+5).
  4. La translation inverse a pour déplacement (+2;−5)(+2;-5).

Construire l’image d’une figure

Tous les sommets d'une figure subissent le même déplacement ; les relier dans le même ordre reconstitue l'image.

Exercice 3 : Triangle translaté

Facile

Le triangle ABC a pour sommets A(−1;1)A(-1;1), B(3;1)B(3;1), C(1;4)C(1;4). On applique le déplacement (+2;−3)(+2;-3).

  1. Donner A′A', B′B', C′C'.
  2. Comparer AB et A'B'.
  3. Comparer les hauteurs relatives de C et C'.
Indication

Ajoutez le même couple à chaque sommet.

Voir le corrigé
  1. A′(1;−2)A'(1;-2), B′(5;−2)B'(5;-2), C′(3;1)C'(3;1).
  2. AB et A'B' valent tous deux 44 unités.
  3. C' est 33 unités plus bas que C, comme tous les points de l'image.

Exercice 4 : Construction sans quadrillage

Moyen

On connaît les points A, B et C sur une feuille non quadrillée. On veut construire C', image de C par la translation qui envoie A sur B.

  1. Décrire une construction au compas et à la règle.
  2. Nommer le quadrilatère AB C' C obtenu dans l'ordre adapté.
  3. Donner deux propriétés de contrôle.
  4. Expliquer le cas où C est sur la droite AB.
Indication

Construisez un parallélogramme dont deux côtés représentent le même déplacement.

Voir le corrigé
  1. Tracer par C la parallèle à AB ; tracer par B la parallèle à AC. Leur intersection est C'.
  2. Le quadrilatère A B C' C est un parallélogramme.
  3. On doit avoir CC′=ABCC'=AB et (CC′)∥(AB)(CC')\parallel(AB), avec le même sens de A vers B et de C vers C'.
  4. Si C est sur AB, l'image reste sur la même droite à la distance AB dans le même sens.

Utiliser les propriétés conservées

Une translation conserve longueurs, angles, alignement, parallélisme, périmètre et aire.

Exercice 5 : Mesures de la figure image

Moyen

Une translation transforme le triangle EFG en E'F'G'. On sait EF=5EF=5 cm, FG=7FG=7 cm, GE=6GE=6 cm et EFG^=48∘\widehat{EFG}=48^\circ.

  1. Donner E′F′E'F', F′G′F'G' et G′E′G'E'.
  2. Donner E′F′G′^\widehat{E'F'G'}.
  3. Comparer les périmètres.
  4. Dire si les triangles ont la même aire.
Indication

La translation déplace sans déformer.

Voir le corrigé
  1. Les longueurs sont 55, 77 et 66 cm.
  2. L'angle vaut 48∘48^\circ.
  3. Les deux périmètres valent 1818 cm.
  4. Les aires sont égales, car la translation conserve les distances et les angles.

Exercice 6 : Affirmations à corriger

Moyen

On lit : « Une translation conserve toujours les coordonnées », « elle conserve la longueur d'un segment », « l'image d'une droite est une droite parallèle ou confondue ».

  1. Classer les trois affirmations.
  2. Corriger la première.
  3. Donner un exemple où une droite est confondue avec son image.
Indication

La position change, mais la forme et les mesures sont conservées.

Voir le corrigé
  1. La première est fausse, les deux autres sont vraies.
  2. Une translation ajoute le même déplacement aux coordonnées ; elle ne les conserve que pour un déplacement nul.
  3. Une droite parallèle à la direction de translation est envoyée sur elle-même, donc elle est confondue avec son image.

Composer des translations et résoudre un problème

Deux déplacements successifs se composent en additionnant leurs variations horizontales et verticales.

Exercice 7 : Deux déplacements successifs

Moyen

Une première translation a pour déplacement (+5;−2)(+5;-2), une seconde (−3;+7)(-3;+7).

  1. Calculer le déplacement composé.
  2. Appliquer la composition à P(−4;1)P(-4;1).
  3. Montrer que l'ordre des deux translations donne ici la même image.
  4. Donner la translation inverse de la composition.
Indication

Additionnez séparément les composantes horizontales et verticales.

Voir le corrigé
  1. Le déplacement total vaut (+2;+5)(+2;+5).
  2. L'image de P est P′(−2;6)P'(-2;6).
  3. (5;−2)+(−3;7)=(−3;7)+(5;−2)=(2;5)(5;-2)+(-3;7)=(-3;7)+(5;-2)=(2;5), donc l'ordre ne change pas le résultat.
  4. L'inverse a pour déplacement (−2;−5)(-2;-5).

Exercice 8 : Frise par répétition

Difficile

Un motif de largeur 66 cm et de hauteur 44 cm est répété par une translation horizontale de 66 cm pour former une frise de 99 motifs.

  1. Calculer le déplacement du premier au neuvième motif.
  2. Calculer la largeur totale de la frise si les motifs se touchent.
  3. Comparer l'aire d'un motif et de son image.
  4. Calculer l'aire totale si un motif occupe 15 cm215\ \mathrm{cm}^2.
  5. Expliquer pourquoi la translation seule ne crée pas de chevauchement avec ce pas.
Indication

Entre le premier et le neuvième motif, il y a huit déplacements.

Voir le corrigé
  1. Le déplacement vaut 8×6=488\times6=48 cm.
  2. La largeur totale vaut 9×6=549\times6=54 cm.
  3. Les aires sont identiques.
  4. L'aire occupée vaut 9×15=135 cm29\times15=135\ \mathrm{cm}^2.
  5. Le pas égale la largeur du motif, donc chaque copie commence exactement après la précédente.
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