Ces exercices corrigés sur les prismes droits et les cylindres en 5ème développent la vision dans l’espace : reconnaître des bases, compter faces et arêtes, lire une perspective et valider un patron. Le cours sur les prismes droits et les cylindres en 5ème présente le vocabulaire nécessaire.
Aucun exercice ne demande ici de calculer un volume : cette séparation rend l’objectif de chaque page plus clair. La série appartient au parcours de mathématiques de 5ème et mobilise les mesures du chapitre sur les aires et conversions ainsi que les tracés précis étudiés avec les parallélogrammes.
Reconnaître et décrire les solides
Le nom d’un prisme dépend de la forme de ses deux bases parallèles et superposables ; le cylindre possède deux bases circulaires.
Exercice 1 : Identifier cinq descriptions
Facile
Donner le nom le plus précis du solide décrit.
- Deux bases triangulaires et trois faces latérales rectangulaires.
- Deux bases pentagonales et cinq faces latérales rectangulaires.
- Deux disques parallèles reliés par une surface courbe.
- Six faces carrées.
- Deux bases rectangulaires et quatre faces latérales rectangulaires.
Indication
Comptez les côtés d’une base : ce nombre donne celui des faces latérales d’un prisme.
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- Prisme droit à base triangulaire.
- Prisme droit à base pentagonale.
- Cylindre de révolution.
- Cube, cas particulier du pavé droit.
- Pavé droit, également prisme droit à base rectangulaire. La surface latérale du cylindre n’est pas un polygone et n’a pas d’arêtes verticales.
Exercice 2 : Compter sans dessin
Moyen
Un prisme droit a pour base un hexagone.
- Combien possède-t-il de sommets ?
- Combien possède-t-il d’arêtes ?
- Combien possède-t-il de faces au total ?
Indication
Chaque base fournit six sommets et six arêtes ; ajoutez ensuite les arêtes qui relient les sommets correspondants.
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Les deux bases donnent \(2\times6=12\) sommets. Elles portent \(12\) arêtes, auxquelles s’ajoutent \(6\) arêtes latérales, soit \(18\) arêtes. Le solide possède \(6\) faces latérales plus \(2\) bases, donc \(8\) faces. Pour une base à \(n\) côtés, les nombres sont \(2n\), \(3n\) et \(n+2\).
Exercice 3 : Vocabulaire du cylindre
Facile
Un cylindre droit a un rayon de base \(3\) cm et une hauteur \(8\) cm.
- Combien a-t-il de bases ?
- Quelle est la forme de chaque base ?
- Que représente le segment de \(8\) cm ?
- Le cylindre possède-t-il des sommets ?
Indication
Ne confondez pas la hauteur, perpendiculaire aux bases, avec un rayon tracé dans une base.
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Le cylindre possède deux bases, toutes deux circulaires et superposables. Le segment de \(8\) cm représente la distance perpendiculaire entre les plans des bases : c’est la hauteur. Le cylindre ne possède aucun sommet. Les deux cercles qui bordent la surface latérale sont parfois appelés arêtes courbes, mais ce ne sont pas des segments.
Lire des vues et une perspective
Une arête cachée est dessinée en pointillés. Une perspective représente le solide, mais elle ne conserve pas toutes les longueurs ni tous les angles.
Exercice 4 : Arêtes visibles et cachées
Moyen
On dessine un pavé droit en perspective cavalière. La face avant est entièrement visible, tandis que le sommet arrière inférieur gauche est caché.
- Comment doit-on tracer les trois arêtes qui arrivent à ce sommet caché ?
- Pourquoi ne faut-il pas les supprimer du dessin ?
Indication
Les pointillés indiquent une arête existante mais masquée par des faces.
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Les portions cachées des trois arêtes doivent être tracées en pointillés, selon la convention de perspective. Les supprimer ferait perdre des informations sur la structure du pavé : le lecteur pourrait croire que la face arrière ou l’arête n’existe pas. Les pointillés permettent donc de distinguer « invisible depuis ce point de vue » de « absent du solide ».
Exercice 5 : Déduire trois vues d’un empilement
Difficile
Une rangée comporte trois piles de cubes de hauteurs \(1\), \(3\) et \(2\). Derrière la pile centrale se trouve une pile supplémentaire de hauteur \(2\).
- Combien de cubes composent l’empilement ?
- Quelles hauteurs voit-on de face ?
- Combien de cases occupe la vue de dessus ?
- Pourquoi la vue de face ne suffit-elle pas à reconstruire le solide ?
Indication
Additionnez les hauteurs des quatre piles ; la vue de dessus compte seulement les positions occupées.
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- Le total est \(1+3+2+2=8\) cubes.
- De face, on lit les hauteurs \(1,3,2\) ; la pile arrière est masquée par la pile centrale plus haute.
- La vue de dessus comporte quatre cases occupées.
- La vue de face ne révèle ni la profondeur ni la pile cachée. Plusieurs empilements différents peuvent donc produire la même silhouette frontale.
Comprendre et valider des patrons
Un patron doit contenir toutes les faces, avec des dimensions compatibles, et se replier sans chevauchement.
Exercice 6 : Patron d’un prisme triangulaire
Moyen
La base d’un prisme droit est un triangle de côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm. La hauteur du prisme est \(7\) cm.
- Donner les dimensions des trois faces latérales.
- Combien faut-il ajouter de triangles ?
- Expliquer l’ordre des largeurs dans la bande de rectangles.
Indication
Chaque côté de la base devient la largeur d’un rectangle latéral ; leur autre dimension est la hauteur du prisme.
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Les faces latérales sont des rectangles \(3\times7\), \(4\times7\) et \(5\times7\) cm. Il faut ajouter deux triangles identiques de côtés \(3,4,5\) cm. Dans la bande, les largeurs \(3,4,5\) doivent suivre le même ordre que les côtés parcourus autour du triangle. Ainsi, chaque rectangle se rattache au bon côté lors du pliage.
Exercice 7 : Auditer un patron proposé
Difficile
Un élève propose pour un prisme à base carrée : deux carrés de côté \(4\) cm et quatre rectangles de \(4\) cm sur \(6\) cm, mais il colle les deux carrés au même rectangle, sur deux côtés opposés.
- Le nombre de faces est-il correct ?
- Les dimensions sont-elles compatibles ?
- Le placement des deux bases est-il forcément impossible ?
- Quel test matériel permet de décider ?
- Que faut-il vérifier pendant le pliage ?
Indication
Un patron ne se juge pas seulement au nombre de faces : simulez le pliage autour de chaque arête.
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- Oui : deux bases et quatre faces latérales.
- Oui : chaque côté de base mesure \(4\) cm, comme la largeur des rectangles.
- Le placement n’est pas automatiquement faux ; plusieurs patrons sont possibles.
- On peut découper une maquette ou simuler chaque rotation de \(90^\circ\).
- Les carrés doivent fermer les deux extrémités sans se superposer. Le verdict dépend donc du repliement réel, pas d’une forme mémorisée.
Exercice 8 : Patron du cylindre
Moyen
Un cylindre a un rayon \(2{,}5\) cm et une hauteur \(9\) cm.
- Nommer les trois éléments de son patron.
- Donner les dimensions du rectangle latéral en fonction de \(\pi\).
Indication
La longueur du rectangle doit faire exactement un tour de base.
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Le patron contient deux disques de rayon \(2{,}5\) cm et un rectangle. La largeur du rectangle est la hauteur du cylindre, soit \(9\) cm. Sa longueur est le périmètre d’une base : \(2\pi r=2\pi\times2{,}5=5\pi\) cm. Un rectangle de longueur \(2{,}5\pi\) ne ferait qu’un demi-tour et ne fermerait pas la surface latérale.
Concevoir et corriger une représentation
Les tâches finales demandent d’expliciter les contraintes de fabrication et de repérer la première incohérence d’un dessin.
Exercice 9 : Concevoir une boîte triangulaire
Difficile
On veut fabriquer une boîte en forme de prisme triangulaire, longue de \(12\) cm. Sa base est un triangle isocèle de côtés \(5\), \(5\) et \(6\) cm.
- Lister toutes les faces avec leurs dimensions.
- Proposer une organisation possible du patron.
- Indiquer les arêtes qui seront collées.
- Expliquer pourquoi deux rectangles de largeur \(5\) cm sont nécessaires.
Indication
Faites correspondre chaque côté du triangle à une face latérale de longueur \(12\) cm.
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Il faut deux triangles isocèles identiques, deux rectangles \(12\times5\) cm et un rectangle \(12\times6\) cm. On peut aligner les trois rectangles en une bande de largeurs \(5,6,5\), puis attacher un triangle à chacun de deux bords compatibles. Les bords libres de longueur \(12\) cm ferment la bande ; les côtés \(5,6,5\) des triangles se collent aux largeurs correspondantes. Les deux côtés égaux de la base produisent nécessairement deux rectangles \(12\times5\).
Exercice 10 : Déboguer une perspective
Moyen
Dans le dessin d’un prisme droit à base pentagonale, les deux bases n’ont pas la même forme et une arête latérale relie deux sommets non correspondants.
- Repérer les deux incohérences géométriques.
- Décrire la correction de l’arête latérale.
- Expliquer pourquoi la perspective peut déformer une longueur sans changer le nombre de côtés.
Indication
Les bases doivent être parallèles et superposables ; les arêtes latérales relient des sommets homologues.
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Première incohérence : les bases ne sont pas superposables, alors qu’un prisme exige deux polygones identiques. Deuxième incohérence : l’arête latérale doit relier un sommet à son correspondant sur l’autre base, sans croiser arbitrairement la face. On redessine donc la seconde base avec cinq sommets dans le même ordre et on relie les paires correspondantes. La perspective peut raccourcir visuellement un segment, mais elle ne transforme jamais un pentagone en quadrilatère.