Ces exercices corrigés d’aires et de conversions en 5ème apprennent à reconnaître la grandeur demandée, choisir une formule et harmoniser les unités avant tout calcul. Le cours sur les aires et conversions en 5ème permet de revoir les formules et les tableaux de conversion.
Les tâches passent des automatismes aux figures composées, puis aux problèmes inverses où une dimension est inconnue. Elles complètent le parcours de mathématiques de 5ème, utilisent les hauteurs des triangles et prolongent le calcul étudié avec les parallélogrammes.
Choisir une unité et une formule
Avant de calculer, on vérifie si la réponse attendue est une longueur ou une aire et si toutes les données utilisent la même unité.
Exercice 1 : Longueur ou aire
Facile
Associer chaque situation à une longueur ou à une aire, puis proposer une unité adaptée.
- La quantité de grillage autour d’un potager.
- La surface d’une feuille de cahier.
- La peinture nécessaire pour un mur.
- La distance autour d’un disque.
- La place occupée par un terrain de sport.
Indication
Le mot « autour » signale souvent une longueur ; « surface » et « couvrir » signalent une aire.
Voir le corrigé
- Longueur, en mètres.
- Aire, en centimètres carrés.
- Aire, en mètres carrés.
- Longueur, en centimètres ou mètres.
- Aire, en mètres carrés. Une unité carrée décrit une surface : écrire seulement cm ou m pour une aire serait une erreur de grandeur, pas seulement une erreur d’unité.
Exercice 2 : Conversions en cascade
Facile
Effectuer les conversions sans utiliser de formule géométrique.
- Convertir \(3{,}6\ \text{m}^2\) en \(\text{dm}^2\).
- Convertir \(4250\ \text{cm}^2\) en \(\text{dm}^2\).
- Convertir \(0{,}082\ \text{dam}^2\) en \(\text{m}^2\).
- Convertir \(7{,}5\ \text{m}^2\) en \(\text{cm}^2\).
Indication
À chaque changement d’une unité d’aire vers l’unité voisine, le facteur est \(100\), car les dimensions sont au carré.
Voir le corrigé
\(3{,}6\ \text{m}^2=360\ \text{dm}^2\). Puis \(4250\ \text{cm}^2=42{,}5\ \text{dm}^2\). Comme \(1\ \text{dam}^2=100\ \text{m}^2\), \(0{,}082\ \text{dam}^2=8{,}2\ \text{m}^2\). Enfin \(1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2\), donc \(7{,}5\ \text{m}^2=75\,000\ \text{cm}^2\). Le facteur \(10\) conviendrait aux longueurs, pas aux aires.
Exercice 3 : Associer données et calcul
Moyen
On dispose des données suivantes : rectangle \(8\) cm sur \(5\) cm ; triangle de base \(7\) cm et hauteur \(4\) cm ; disque de rayon \(3\) cm.
- Écrire, sans l’effectuer, le calcul de chaque aire.
- Indiquer la donnée qui doit être perpendiculaire à la base du triangle.
- Préciser où intervient le nombre \(\pi\).
Indication
Utilisez respectivement longueur fois largeur, base fois hauteur divisée par deux, et \(\pi r^2\).
Voir le corrigé
Le rectangle conduit à \(8\times5\). Le triangle conduit à \((7\times4)\div2\), où \(4\) cm doit être la hauteur perpendiculaire à la base de \(7\) cm. Le disque conduit à \(\pi\times3^2\). Le nombre \(\pi\) n’intervient que pour le disque. Cette écriture préalable évite de confondre rayon, diamètre et hauteur oblique.
Triangles et parallélogrammes
La hauteur est une distance perpendiculaire à la base choisie ; elle peut être intérieure ou extérieure à la figure.
Exercice 4 : Aire d’un triangle obtus
Moyen
Un triangle a une base de \(11\) cm et la hauteur relative à cette base mesure \(6{,}4\) cm. Le pied de la hauteur est à l’extérieur du segment de base.
- Calculer l’aire du triangle.
- Expliquer pourquoi la position extérieure du pied ne change pas la formule.
Indication
La formule utilise la distance entre la base et le sommet, même si le segment de hauteur sort du triangle.
Voir le corrigé
L’aire vaut \((11\times6{,}4)\div2=70{,}4\div2=35{,}2\ \text{cm}^2\). Le pied extérieur indique seulement que le triangle est obtus pour cette base. La hauteur reste perpendiculaire à la droite qui porte la base et mesure bien la distance du sommet à cette droite ; la formule reste donc valable.
Exercice 5 : Retrouver une hauteur
Difficile
Un triangle d’aire \(54\ \text{cm}^2\) possède une base de \(12\) cm.
- Écrire l’égalité contenant la hauteur \(h\).
- Calculer \(h\).
- Vérifier en recalculant l’aire.
Indication
Dans \(A=(b\times h)\div2\), commencez par multiplier l’aire par \(2\).
Voir le corrigé
- \(54=(12\times h)\div2\).
- Donc \(108=12h\), puis \(h=108\div12=9\) cm.
- Vérification : \((12\times9)\div2=108\div2=54\ \text{cm}^2\). La hauteur est une longueur ; son unité est cm, non cm².
Exercice 6 : Deux bases pour un même parallélogramme
Difficile
Un parallélogramme a un côté de \(10\) cm avec une hauteur associée de \(4{,}8\) cm. Un côté adjacent mesure \(6\) cm.
- Calculer son aire avec la première base.
- Déterminer la hauteur associée au côté de \(6\) cm.
- Pourquoi les deux produits doivent-ils être égaux ?
- Cette seconde hauteur peut-elle mesurer \(8\) cm ? Vérifier.
Indication
L’aire de la figure est unique : \(10\times4{,}8=6\times h\).
Voir le corrigé
L’aire vaut \(10\times4{,}8=48\ \text{cm}^2\). Pour l’autre base, \(6\times h=48\), donc \(h=8\) cm. Les produits sont égaux parce qu’ils calculent la même surface avec deux couples base-hauteur différents. Oui, \(8\) cm est cohérent : \(6\times8=48\ \text{cm}^2\). Il ne faut pas associer une base à une hauteur non perpendiculaire.
Disques et figures composées
Une figure composée peut être découpée en surfaces disjointes ou obtenue par soustraction d’une partie retirée.
Exercice 7 : Du diamètre à l’aire du disque
Facile
Une table ronde a un diamètre de \(1{,}20\) m. On prend \(\pi\approx3{,}14\).
- Déterminer son rayon.
- Calculer son aire en \(\text{m}^2\).
- Donner une valeur arrondie au centième.
Indication
Le rayon est la moitié du diamètre, puis l’aire vaut \(\pi r^2\).
Voir le corrigé
Le rayon vaut \(1{,}20\div2=0{,}60\) m. L’aire est \(3{,}14\times0{,}60^2=3{,}14\times0{,}36=1{,}1304\ \text{m}^2\). Arrondie au centième, elle vaut \(1{,}13\ \text{m}^2\). Utiliser \(1{,}20\) comme rayon aurait multiplié l’aire par quatre.
Exercice 8 : Une forme en L par deux méthodes
Difficile
Un rectangle de \(12\) m sur \(8\) m perd, dans un angle, un rectangle de \(5\) m sur \(3\) m.
- Calculer l’aire par soustraction.
- Proposer un découpage en deux rectangles restants.
- Calculer avec ce découpage.
- Comparer les résultats.
- Expliquer pourquoi les longueurs du contour ne sont pas toutes utiles.
Indication
Grande surface moins ouverture, ou somme de deux rectangles sans chevauchement.
Voir le corrigé
- Soustraction : \(12\times8-5\times3=96-15=81\ \text{m}^2\).
- On peut garder un rectangle \(12\times5\) et un rectangle \(7\times3\).
- Leur somme vaut \(60+21=81\ \text{m}^2\).
- Les deux méthodes concordent.
- L’aire dépend des dimensions des surfaces, pas de l’ordre des segments du contour. Certaines longueurs servent seulement à repérer le découpage.
Exercice 9 : Aire d’une piste rectangulaire
Moyen
Une piste forme un cadre entre un rectangle extérieur de \(30\) m sur \(18\) m et un rectangle intérieur de \(26\) m sur \(14\) m.
- Calculer l’aire de la piste.
- Déduire sa largeur uniforme.
Indication
Soustrayez les deux aires. La largeur apparaît deux fois dans chaque dimension extérieure.
Voir le corrigé
L’aire extérieure vaut \(30\times18=540\ \text{m}^2\), et l’aire intérieure \(26\times14=364\ \text{m}^2\). La piste occupe donc \(540-364=176\ \text{m}^2\). La différence des longueurs est \(30-26=4\) m, répartie sur deux côtés : la largeur vaut \(2\) m. La différence \(18-14\) confirme ce résultat.
Problèmes inverses et contrôle des résultats
Estimer un ordre de grandeur et contrôler les unités permet de repérer une réponse impossible avant même de relire tous les calculs.
Exercice 10 : Retrouver le rayon d’un disque
Difficile
Un disque a une aire approchée de \(78{,}5\ \text{cm}^2\), avec \(\pi\approx3{,}14\).
- Calculer \(r^2\).
- En déduire le rayon.
- Donner le diamètre.
- Vérifier l’aire obtenue.
Indication
Divisez d’abord l’aire par \(\pi\), puis cherchez le nombre positif dont le carré est obtenu.
Voir le corrigé
\(r^2=78{,}5\div3{,}14=25\). Le rayon positif est donc \(r=5\) cm. Le diamètre vaut \(2r=10\) cm. Vérification : \(3{,}14\times5^2=3{,}14\times25=78{,}5\ \text{cm}^2\). On choisit la racine positive, car une longueur ne peut pas être négative.
Exercice 11 : Corriger une copie
Moyen
Pour un triangle de base \(7\) cm et de hauteur \(5\) cm, Lina écrit : \(A=7\times5=35\) cm.
- Repérer les deux erreurs.
- Écrire le calcul correct.
- Expliquer géométriquement le facteur manquant.
Indication
Comparez le triangle au parallélogramme de même base et de même hauteur.
Voir le corrigé
Lina a oublié de diviser par \(2\) et a écrit une unité de longueur au lieu d’une unité d’aire. Le calcul correct est \(A=(7\times5)\div2=17{,}5\ \text{cm}^2\). Le facteur \(1/2\) vient du fait que deux triangles identiques peuvent former un parallélogramme de même base et de même hauteur ; un seul triangle occupe donc la moitié de sa surface.
Exercice 12 : Aménager une cour
Difficile
Une cour rectangulaire mesure \(24\) m sur \(15\) m. Elle contient un bassin circulaire de rayon \(3\) m et une zone de jeux triangulaire de base \(8\) m et hauteur \(5\) m. On prend \(\pi\approx3{,}14\).
- Calculer l’aire totale de la cour.
- Calculer l’aire du bassin.
- Calculer l’aire de la zone de jeux.
- Déterminer l’aire encore libre.
- Combien de sacs couvrant chacun \(25\ \text{m}^2\) faut-il acheter pour la zone libre ?
Indication
Calculez séparément les trois surfaces, puis arrondissez le nombre de sacs par excès.
Voir le corrigé
- Cour : \(24\times15=360\ \text{m}^2\).
- Bassin : \(3{,}14\times3^2=28{,}26\ \text{m}^2\).
- Jeux : \((8\times5)\div2=20\ \text{m}^2\).
- Zone libre : \(360-28{,}26-20=311{,}74\ \text{m}^2\).
- \(311{,}74\div25\approx12{,}47\). Douze sacs seraient insuffisants ; il faut donc acheter 13 sacs.