Ces exercices corrigés sur les médiatrices et le cercle circonscrit en 5ème associent construction au compas et raisonnement sur l’équidistance. Le cours sur les médiatrices et le cercle circonscrit rappelle les deux sens de la propriété.
Les problèmes prolongent les constructions de triangles et s’inscrivent dans le parcours de mathématiques de 5ème.
Reconnaître et construire une médiatrice
Une médiatrice est à la fois perpendiculaire au segment et passant par son milieu.
Exercice 1 : Deux conditions indispensables
Facile
La droite \((d)\) passe par le milieu \(I\) de \([AB]\), mais forme un angle de \(70^\circ\) avec \((AB)\). La droite \((e)\) est perpendiculaire à \((AB)\), mais passe à \(1\) cm de \(I\).
- L’une des deux droites est-elle la médiatrice de \([AB]\) ?
- Justifier séparément chaque refus.
Indication
Vérifiez toujours le milieu et la perpendicularité.
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Aucune ne convient. \((d)\) passe bien par le milieu, mais n’est pas perpendiculaire. \((e)\) est perpendiculaire, mais ne passe pas par le milieu. Une seule condition ne suffit pas.
Exercice 2 : Construction au compas
Facile
On donne un segment \([CD]\) de \(7\) cm.
- Décrire la construction de sa médiatrice sans mesurer le milieu.
- Pourquoi le rayon du compas doit-il dépasser \(3{,}5\) cm ?
- Donner deux contrôles.
Indication
Deux arcs de même rayon, centrés en \(C\) et en \(D\), doivent se couper de part et d’autre du segment.
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On trace deux arcs de même rayon supérieur à la moitié de \(CD\), centrés en \(C\) puis \(D\). La droite passant par leurs deux intersections est la médiatrice. Un rayon supérieur à \(3{,}5\) cm assure deux intersections. On contrôle la perpendicularité et le passage par le milieu.
Exercice 3 : Diagnostiquer une médiatrice imprécise
Moyen
Sur une copie, deux arcs ont été tracés depuis \(A\) avec un rayon de \(4\) cm et depuis \(B\) avec un rayon de \(5\) cm.
- Expliquer l’erreur.
- Dire ce que garantit une intersection obtenue ainsi.
- Indiquer la correction.
- Formuler la propriété attendue.
Indication
Pour produire des points équidistants de \(A\) et \(B\), les deux rayons doivent être égaux.
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Les arcs n’utilisent pas le même rayon ; leur intersection n’est donc pas assurée d’être à égale distance de \(A\) et \(B\). Elle vérifie ici deux distances différentes. Il faut conserver une même ouverture de compas pour les arcs centrés en \(A\) et \(B\). Chaque intersection sera alors équidistante des extrémités.
Utiliser l’équidistance dans les deux sens
La propriété directe part de l’appartenance à la médiatrice ; la réciproque part d’une égalité de distances.
Exercice 4 : Calculer une longueur
Facile
Le point \(M\) appartient à la médiatrice de \([EF]\) et \(ME=6{,}4\) cm.
- Déterminer \(MF\) et citer la propriété.
Indication
Tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités.
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Comme \(M\) appartient à la médiatrice de \([EF]\), on a \(ME=MF\). Donc \(MF=6{,}4\) cm.
Exercice 5 : Appliquer la réciproque
Moyen
On sait que \(PG=PH=8\) cm.
- Que peut-on conclure sur \(P\) ?
- Construire un second point ayant la même propriété.
- Quelle droite les deux points déterminent-ils ?
Indication
Un point équidistant des extrémités appartient à leur médiatrice.
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De \(PG=PH\), on déduit que \(P\) appartient à la médiatrice de \([GH]\). Un second point s’obtient par deux arcs de même rayon centrés en \(G\) et \(H\). La droite passant par ces deux points est la médiatrice de \([GH]\).
Exercice 6 : Choisir l’emplacement d’un équipement
Difficile
Deux villages \(A\) et \(B\) veulent placer une borne à égale distance des deux centres, tout en la situant sur une route \((r)\).
- Quel lieu géométrique satisfait la première condition ?
- Combien de solutions obtient-on selon la position de \((r)\) ?
- Décrire la construction.
- Que se passe-t-il si la route est parallèle à la médiatrice ?
- Justifier sans mesurer les distances finales.
Indication
La solution est une intersection de deux lieux : la route et la médiatrice.
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Le lieu équidistant est la médiatrice de \([AB]\). Les solutions sont ses intersections avec \((r)\) : généralement une, aucune si les droites sont parallèles distinctes, et une infinité si la route est elle-même la médiatrice. On construit donc la médiatrice, puis on marque son intersection avec la route. L’équidistance est garantie par la propriété.
Construire et justifier un cercle circonscrit
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes ; leur intersection est équidistante des trois sommets.
Exercice 7 : Trouver le centre d’un cercle
Moyen
On donne trois points non alignés \(A\), \(B\) et \(C\).
- Décrire la construction du centre \(O\) du cercle passant par les trois points.
- Pourquoi deux médiatrices suffisent-elles ?
- Quel rayon choisir ?
Indication
Le centre doit être équidistant de chaque paire de sommets.
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Construire les médiatrices de \([AB]\) et \([AC]\) ; leur intersection est \(O\). Comme \(O\) appartient à la première, \(OA=OB\), et à la seconde, \(OA=OC\). Ainsi \(OA=OB=OC\). On trace le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\). La troisième médiatrice passe aussi par \(O\).
Exercice 8 : Cas d’un triangle rectangle
Difficile
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\). On note \(I\) le milieu de l’hypoténuse \([BC]\).
- Conjecturer la position du centre du cercle circonscrit.
- Comparer \(IA\), \(IB\) et \(IC\).
- Décrire un contrôle par le cercle.
- Expliquer pourquoi le centre peut être sur un côté.
Indication
Construisez le cercle de diamètre \([BC]\) et observez la position du sommet de l’angle droit.
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Le centre est \(I\), milieu de l’hypoténuse. On a \(IB=IC\) par définition du milieu et \(IA=IB=IC\), propriété du milieu de l’hypoténuse dans un triangle rectangle. Le cercle de centre \(I\), rayon \(IB\), passe donc par \(A,B,C\). Le centre est sur \([BC]\) parce que le triangle est rectangle.
Exercice 9 : Preuve de synthèse
Difficile
Les médiatrices de \([AB]\) et \([BC]\) se coupent en \(O\). Une élève trace un cercle de centre \(O\) passant par \(A\), mais ne vérifie pas \(C\).
- Montrer que le cercle passe aussi par \(B\).
- Montrer qu’il passe par \(C\).
- Rédiger une conclusion complète.
Indication
Écrivez une égalité de distances pour chaque médiatrice, puis enchaînez-les.
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Comme \(O\) est sur la médiatrice de \([AB]\), \(OA=OB\) : le cercle passant par \(A\) passe aussi par \(B\). Comme \(O\) est sur la médiatrice de \([BC]\), \(OB=OC\). Ainsi \(OA=OB=OC\), donc le cercle passe également par \(C\). Il est le cercle circonscrit à \(ABC\).