Triangles 5ème : 10 exercices corrigés sur angles et constructions

Ces exercices corrigés sur les triangles en 5ème entraînent à calculer un angle, reconnaître un triangle particulier, décider si une construction est possible et rédiger un programme. Le cours sur les triangles en 5ème présente les propriétés utilisées.

Les mesures sont toujours justifiées et les dessins ne sont jamais supposés exacts. Les relations d’angles réemploient le chapitre sur les angles et le parallélisme, dans le parcours de mathématiques de 5ème.

Calculer avec la somme des angles d’un triangle

Dans tout triangle, les trois angles ont une somme égale à \(180^\circ\).

Exercice 1 : Un angle manquant

Facile

Dans \(ABC\), \(\widehat{A}=46^\circ\) et \(\widehat{B}=73^\circ\).

  1. Calculer \(\widehat{C}\).
Indication

Retranchez à \(180^\circ\) les deux angles connus.

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\(\widehat{C}=180^\circ-46^\circ-73^\circ=61^\circ\). Vérification : \(46+73+61=180\).

Exercice 2 : Triangle isocèle et angle au sommet

Facile

Le triangle \(DEF\) est isocèle en \(D\) et \(\widehat{D}=38^\circ\).

  1. Quels angles sont égaux ?
  2. Calculer \(\widehat{E}\) et \(\widehat{F}\).
  3. Contrôler la somme.
Indication

Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.

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\(\widehat{E}=\widehat{F}\). Leur somme vaut \(180^\circ-38^\circ=142^\circ\), donc chacun mesure \(142^\circ\div2=71^\circ\). On vérifie \(38+71+71=180\).

Exercice 3 : Identifier la nature d’un triangle

Moyen

Un triangle possède deux angles de \(45^\circ\).

  1. Calculer le troisième angle.
  2. Donner deux natures particulières du triangle.
  3. Justifier chaque qualification.
  4. Peut-il être équilatéral ?
Indication

Deux angles égaux donnent un triangle isocèle ; un angle de \(90^\circ\) donne un triangle rectangle.

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Le troisième angle vaut \(180-45-45=90^\circ\). Le triangle est rectangle et isocèle. Il est isocèle car deux angles sont égaux, donc les côtés opposés le sont ; il est rectangle car il possède un angle droit. Il n’est pas équilatéral, car ses angles ne valent pas tous \(60^\circ\).

Décider si un triangle est constructible

La longueur de chaque côté doit être strictement inférieure à la somme des deux autres ; l’égalité donne une figure aplatie.

Exercice 4 : Trois listes de longueurs

Facile

Étudier les triplets de longueurs : \(4,6,7\) cm ; \(3,5,9\) cm ; \(2,5,7\) cm.

  1. Indiquer le triplet constructible.
  2. Expliquer le refus pour chacun des deux autres.
Indication

Il suffit de comparer le plus grand côté à la somme des deux plus petits.

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\(7<4+6\), donc \(4,6,7\) est constructible. Pour \(3,5,9\), \(9>3+5\) : les deux arcs ne se rencontrent pas. Pour \(2,5,7\), \(7=2+5\) : les points seraient alignés, donc on n’obtient pas un véritable triangle.

Exercice 5 : Longueur entière inconnue

Moyen

Un triangle a des côtés \(5\) cm, \(8\) cm et \(x\) cm, où \(x\) est un entier.

  1. Écrire les deux inégalités utiles.
  2. Donner toutes les valeurs possibles de \(x\) inférieures à \(12\).
  3. Tester \(x=3\) et \(x=13\).
Indication

La troisième longueur doit être plus grande que la différence et plus petite que la somme des deux autres.

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Il faut \(x>8-5=3\) et \(x<8+5=13\). Avec \(x<12\), les valeurs entières sont \(4,5,6,7,8,9,10,11\). Pour \(x=3\), la figure est aplatie ; pour \(x=13\), elle l’est également. Les inégalités doivent être strictes.

Exercice 6 : Corriger une décision fondée sur le dessin

Moyen

Une esquisse montre un triangle de côtés annoncés \(6\), \(8\) et \(15\) cm. Lina dit qu’il existe parce qu’elle le voit.

  1. Vérifier numériquement.
  2. Expliquer le statut d’une esquisse.
  3. Proposer une donnée corrigée minimale.
Indication

Comparez \(15\) à \(6+8\).

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On a \(15>6+8=14\) : le triangle est impossible. Une esquisse illustre une situation, mais ne remplace pas une condition mathématique. En remplaçant \(15\) par une longueur strictement inférieure à \(14\), par exemple \(13{,}9\) cm, la construction devient possible.

Construire avec des données adaptées

Les données choisies déterminent l’ordre des instruments : règle graduée, compas puis rapporteur lorsque des angles sont imposés.

Exercice 7 : Construction par trois côtés

Moyen

Construire \(ABC\) tel que \(AB=7\) cm, \(AC=5\) cm et \(BC=6\) cm.

  1. Donner le programme complet.
  2. Expliquer pourquoi deux positions de \(C\) sont possibles.
  3. Nommer les instruments.
  4. Effectuer un contrôle final.
  5. Les deux triangles obtenus ont-ils les mêmes mesures ?
Indication

Après le segment de base, le troisième sommet appartient à deux cercles.

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  1. Tracer \([AB]\) de \(7\) cm ; tracer le cercle de centre \(A\), rayon \(5\) cm, puis celui de centre \(B\), rayon \(6\) cm ; choisir une intersection \(C\).
  2. Les cercles ont deux intersections symétriques par rapport à \((AB)\).
  3. Règle graduée et compas suffisent.
  4. Vérifier les trois longueurs.
  5. Les deux triangles sont superposables : seules leurs orientations diffèrent.

Exercice 8 : Construction par deux côtés et un angle

Moyen

Construire \(MNP\) avec \(MN=6\) cm, \(MP=4\) cm et \(\widehat{NMP}=52^\circ\).

  1. Décrire les étapes dans l’ordre.
  2. Pourquoi l’angle doit-il être construit au point \(M\) ?
Indication

L’angle donné est compris entre les deux côtés connus.

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Tracer \([MN]\) de \(6\) cm. Au point \(M\), construire une demi-droite faisant \(52^\circ\) avec \([MN)\). Sur cette demi-droite, placer \(P\) à \(4\) cm de \(M\), puis relier \(P\) à \(N\). L’angle est construit en \(M\) parce que ses côtés sont précisément \([MN)\) et \([MP)\).

Exercice 9 : Remettre un programme dans l’ordre

Difficile

Pour construire un triangle avec \(QR=8\) cm, \(\widehat{Q}=40^\circ\) et \(\widehat{R}=65^\circ\), quatre étapes sont mélangées : placer \(S\) à l’intersection ; tracer \([QR]\) ; construire la demi-droite d’origine \(R\) ; construire celle d’origine \(Q\).

  1. Remettre les étapes dans l’ordre.
  2. Calculer le troisième angle.
  3. Expliquer pourquoi les deux demi-droites se rencontrent.
Indication

La base doit exister avant les angles ; le troisième sommet est défini par l’intersection.

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On trace d’abord \([QR]\), puis la demi-droite en \(Q\) formant \(40^\circ\), puis celle en \(R\) formant \(65^\circ\), enfin on nomme \(S\) leur intersection. Le troisième angle vaut \(180-40-65=75^\circ\). Les deux directions tournent vers le même demi-plan et la somme \(40+65<180\) laisse un angle positif au sommet.

Mobiliser plusieurs propriétés

La synthèse associe un calcul exact, une décision de constructibilité et un programme contrôlable.

Exercice 10 : Projet de fanion triangulaire

Difficile

Un fanion isocèle \(ABC\) a \(AB=AC=10\) cm et une base \(BC=12\) cm.

  1. Vérifier que la construction est possible.
  2. Décrire une construction au compas.
  3. Expliquer pourquoi les angles en \(B\) et \(C\) sont égaux.
  4. Si \(\widehat{A}=74^\circ\), calculer les deux autres angles.
Indication

Le sommet appartient aux deux cercles de rayon \(10\) centrés aux extrémités de la base.

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\(12<10+10\), donc le triangle existe. On trace \([BC]\) de \(12\) cm, puis deux cercles de centres \(B\) et \(C\), rayon \(10\) cm ; une intersection donne \(A\). Comme \(AB=AC\), les angles à la base sont égaux. Leur somme vaut \(180-74=106^\circ\), donc chacun mesure \(53^\circ\).

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