Ces exercices corrigés de symétrie centrale en 5ème font passer du geste de construction au raisonnement géométrique. Pour construire l’image \(A’\) d’un point \(A\) par rapport au centre \(O\), on vérifie que \(O\) est le milieu de \([AA’]\). La série alterne repérage, construction à la règle et au compas, propriétés conservées et analyse d’erreurs afin de préparer un contrôle sans réduire la notion à un simple dessin.
Les dix exercices ne répètent pas la même figure : certains demandent une seule décision, d’autres une construction complète, une justification ou une comparaison avec la symétrie axiale. Ils prolongent le cours de symétrie centrale en 5ème, s’inscrivent dans le parcours de mathématiques de 5ème et réutilisent naturellement les propriétés de construction des triangles.
Reconnaître le centre et construire une image
Avant de mesurer une figure, on identifie le centre, l’alignement et l’égalité des distances. Une symétrie centrale correspond à un demi-tour : le segment qui relie un point à son image passe par le centre.
Exercice 1 : Repérer les couples de points symétriques
Facile
Sur une figure, \(OA=OA’=4{,}2\) cm et \(O,A,A’\) sont alignés ; pour \(B\), \(O,B,B’\) sont alignés mais \(OB=3{,}8\) cm et \(OB’=4{,}1\) cm.
- Le couple \(A,A’\) peut-il être symétrique par rapport à \(O\) ?
- Que conclure pour \(B,B’\) ?
Indication
Le centre doit être le milieu du segment qui joint un point à son image : il faut l’alignement et l’égalité des deux longueurs.
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- Oui pour \(A,A’\) : \(O\) est le milieu de \([AA’]\).
- Non pour \(B,B’\) : l’alignement existe mais \(OB\ne OB’\), donc \(O\) n’est pas le milieu.
Une mesure seule ne suffit jamais sans la condition d’alignement.
Exercice 2 : Construire le symétrique d’un point
Facile
On donne un point \(A\) et un centre \(O\), distincts. Construire \(A’\), image de \(A\) par la symétrie centrale de centre \(O\).
- Décrire les étapes.
- Quelle propriété contrôle le résultat ?
- Que devient \(A’\) si \(A\) se déplace ?
Indication
Tracez \((AO)\), puis reportez \(OA\) de l’autre côté de \(O\), sur la même droite.
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- Tracer \((AO)\).
- Prendre l’ouverture \(OA\) au compas.
- La reporter depuis \(O\), sur la demi-droite opposée, pour placer \(A’\).
- Vérifier \(A,O,A’\) alignés et \(OA’=OA\). Ainsi \(O\) est le milieu de \([AA’]\). Si \(A\) se déplace, \(A’\) se déplace aussi en restant à la même distance du centre, de l’autre côté.
Exercice 3 : Construire l’image d’un segment
Moyen
Le segment \([AB]\) vérifie \(AB=5\) cm. Construire l’image \([A’B’]\) par rapport à un centre \(O\) qui n’appartient pas au segment.
- Construire les images des extrémités.
- Quelle longueur possède \(A’B’\) ?
- Quelle relation existe entre \((AB)\) et \((A’B’)\)?
- Le sens du segment est-il conservé ?
Indication
Construisez point par point. Pensez au demi-tour pour la relation entre les deux droites.
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- Construire \(A’\) et \(B’\) en plaçant \(O\) au milieu de \([AA’]\) et \([BB’]\).
- La symétrie centrale conserve les longueurs : \(A’B’=AB=5\) cm.
- Les droites images sont parallèles si la droite initiale ne passe pas par \(O\), sinon elles sont confondues.
- Le sens gauche-droite est inversé par le demi-tour, mais les distances et les angles sont conservés.
Exercice 4 : Point invariant et centre de symétrie
Moyen
On considère une symétrie centrale de centre \(O\).
- Dans quel cas l’image de \(P\) est-elle \(P\) lui-même ?
- Une droite passant par \(O\) est-elle globalement inchangée ?
Indication
Un point invariant est confondu avec son image. Pour une droite, distinguez la droite de la position de chaque point.
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Le seul point invariant est \(O\), car \(O\) doit être le milieu de \([PP]\). Toute droite passant par \(O\) est envoyée sur elle-même : ses points peuvent changer de place, mais leurs images restent sur la droite. Une droite ne passant pas par \(O\) devient une droite parallèle.
Utiliser les propriétés conservées
Une construction devient utile lorsqu’elle permet de déduire une longueur, un angle ou un parallélisme sans tout mesurer. Le demi-tour conserve distances, angles et alignement.
Exercice 5 : Déduire des longueurs sans mesurer
Facile
La symétrie de centre \(O\) envoie \(A,B,C\) sur \(A’,B’,C’\). On connaît \(AB=7{,}5\) cm, \(BC=4\) cm et \(AC=6{,}2\) cm.
- Donner \(A’B’\), \(B’C’\) et \(A’C’\).
- Calculer le périmètre de \(A’B’C’\).
- Comparer les deux aires.
Indication
La symétrie centrale est une isométrie : chaque longueur et chaque aire est conservée.
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- \(A’B’=7{,}5\) cm, \(B’C’=4\) cm et \(A’C’=6{,}2\) cm.
- Le périmètre est \(7{,}5+4+6{,}2=17{,}7\) cm.
- Les triangles sont superposables après un demi-tour, donc leurs aires sont égales.
Exercice 6 : Reconnaître des parallèles après un demi-tour
Moyen
Une droite \((d)\), ne passant pas par \(O\), a pour image la droite \((d’)\).
- Quelle relation entre \((d)\) et \((d’)\) ?
- Pourquoi les longueurs sont-elles conservées ?
- Que se passe-t-il si \((d)\) passe par \(O\) ?
- Rédiger une conclusion.
Indication
Construisez les images de deux points de \((d)\), puis observez la droite obtenue. Le cas particulier est celui d’une droite contenant le centre.
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- \((d)\parallel(d’)\), puisque la droite ne passe pas par le centre.
- Les extrémités d’un segment sont envoyées par une isométrie ; la distance entre leurs images reste égale.
- Si \((d)\) passe par \(O\), elle est envoyée sur elle-même.
- Conclusion : « La symétrie centrale conserve les longueurs et transforme une droite ne passant pas par son centre en une droite parallèle. »
Exercice 7 : Réparer une construction fausse
Difficile
Un élève place \(A’\) avec \(AA’=6\) cm et \(OA’=4\) cm, alors que \(OA=4\) cm. Il affirme que \(A’\) est le symétrique de \(A\).
- Identifier la condition manquante.
- Pourquoi \(AA’\) ne suffit-il pas ?
- Décrire la correction.
- Donner deux contrôles finaux.
- Que conclure sans alignement ?
Indication
La définition porte sur \(O\) comme milieu, pas sur une distance choisie entre \(A\) et \(A’\).
Voir le corrigé
- Il faut contrôler l’alignement \(A,O,A’\), puis \(OA=OA’\).
- \(AA’\) dépend de la position du point par rapport à \(O\) et ne prouve pas que le centre est le milieu.
- Tracer \((AO)\), puis placer \(A’\) sur la demi-droite opposée à \(4\) cm de \(O\).
- Vérifier alignement, égalité des distances et milieu de \([AA’]\).
- Sans alignement, \(O\) ne peut pas être le milieu, même si les deux distances au centre sont égales.
Raisonner sur une figure et ses invariants
Les problèmes de synthèse demandent de distinguer ce qui est conservé de ce qui est seulement déplacé. Une justification précise s’appuie sur la définition de l’image, puis sur la propriété adaptée.
Exercice 8 : Un quadrilatère et son image
Moyen
Le quadrilatère \(ABCD\) devient \(A’B’C’D’\) par symétrie centrale. On connaît \(AB=8\) cm, \(BC=5\) cm, \(CD=8\) cm, \(DA=5\) cm et \(\widehat{ABC}=112^\circ\).
- Calculer le périmètre de l’image.
- Donner \(\widehat{A’B’C’}\).
- Comparer les diagonales.
Indication
La symétrie centrale conserve chaque longueur et chaque angle.
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- Le périmètre initial vaut \(8+5+8+5=26\) cm ; le périmètre image vaut donc \(26\) cm.
- \(\widehat{A’B’C’}=112^\circ\).
- \(A’C’=AC\) et \(B’D’=BD\) : les diagonales sont conservées.
Exercice 9 : Le centre d’une figure à partir d’une image
Difficile
On connaît \(A,A’\) et \(B,B’\), supposés être deux couples de points symétriques. Construire le centre \(O\).
- Construire une première position possible.
- Utiliser le second couple pour vérifier.
- Que conclure si les milieux diffèrent ?
- Pourquoi un seul couple ne suffit-il pas toujours ?
Indication
Le centre est le milieu de chacun des segments joignant un point à son image.
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- Construire le milieu de \([AA’]\).
- Construire le milieu de \([BB’]\) et comparer les deux points.
- Des milieux différents prouvent qu’une donnée ou une construction est fausse.
- Un couple donne un centre possible, mais deux couples vérifient la cohérence de toute la transformation.
Exercice 10 : Défi : une figure qui revient sur elle-même
Difficile
On appelle \(O\) le point d’intersection des diagonales d’un rectangle. On compare ensuite avec un triangle quelconque.
- Montrer que le rectangle est invariant.
- Un triangle possède-t-il un centre de symétrie ?
- Quelle différence explique les réponses ?
- Donner un quadrilatère avec centre mais sans axe, si possible.
- Conclure sur les parallélogrammes.
Indication
Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu. Une figure centrale associe ses sommets deux à deux.
Voir le corrigé
- Dans le rectangle, \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) : la symétrie échange \(A\) avec \(C\), \(B\) avec \(D\), et laisse la figure inchangée.
- Un triangle n’a pas de centre de symétrie : ses trois sommets ne peuvent pas être associés deux à deux.
- Un polygone invariant par demi-tour possède un nombre pair de sommets.
- Un parallélogramme général possède un centre sans avoir nécessairement d’axe.
- Tout parallélogramme est invariant autour de l’intersection de ses diagonales, milieu des deux diagonales.