Ces exercices corrigés de probabilités en 5ème apprennent à décrire une expérience aléatoire, lister ses issues et calculer la probabilité d’un événement simple. Le cours de probabilités en 5ème rappelle les mots possible, certain, impossible et équiprobable.
Les situations vont de la pièce et du dé à l’urne, à la roue et à une simulation. Les corrections distinguent toujours le modèle théorique des fréquences réellement observées. La série prolonge le parcours de mathématiques de 5ème avec des questions courtes, des enquêtes et des problèmes de synthèse.
Décrire une expérience et ses événements
Avant tout calcul, il faut préciser l’expérience, l’ensemble des résultats possibles et les issues qui réalisent l’événement étudié.
Exercice 1 : Classer impossible, possible et certain
Facile
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de \(1\) à \(6\). On considère : A « obtenir \(7\) », B « obtenir un nombre inférieur à \(7\) », C « obtenir un nombre pair », D « obtenir \(1\) ».
- Classer les quatre événements.
- Donner les issues qui réalisent C.
Indication
Listez d’abord les six résultats possibles : \(1,2,3,4,5,6\).
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A est impossible, car \(7\) n’est pas une face du dé. B est certain, car toutes les issues \(1\) à \(6\) sont inférieures à \(7\). C est possible sans être certain et se réalise avec \(2,4,6\). D est également possible, avec une seule issue favorable : \(1\). Ce classement décrit la possibilité d’un événement avant de mesurer sa probabilité.
Exercice 2 : Décrire les événements d’une roue
Facile
Une roue possède huit secteurs égaux numérotés \(1,1,2,2,2,3,4,4\). Elle s’arrête au hasard sur un secteur.
- Donner les valeurs possibles.
- Combien de secteurs réalisent « obtenir 2 » ?
- Décrire l’événement « obtenir au moins 3 ».
- Expliquer pourquoi les quatre valeurs ne sont pas équiprobables.
Indication
Distinguez les valeurs affichées des huit secteurs physiques sur lesquels la roue peut s’arrêter.
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Les valeurs possibles sont \(1,2,3,4\). Trois secteurs portent le nombre \(2\). L’événement « au moins 3 » est réalisé par les secteurs portant \(3\) ou \(4\), soit trois secteurs au total. Les valeurs ne sont pas équiprobables : \(1\) apparaît sur deux secteurs, \(2\) sur trois, \(3\) sur un et \(4\) sur deux. Ce sont les huit secteurs égaux, et non les quatre nombres distincts, qui ont la même chance d’être obtenus.
Exercice 3 : Corriger un univers incomplet
Moyen
On tire au hasard une lettre du mot MATHS. Un élève écrit l’univers \(\{A,H,M\}\) parce qu’il ne conserve que trois lettres.
- Donner l’univers correct.
- Identifier l’erreur de l’élève.
- Calculer la probabilité d’obtenir une voyelle.
Indication
Toutes les lettres du mot correspondent à des issues possibles, même si certaines ne réalisent pas l’événement étudié.
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Le mot contient cinq lettres distinctes, donc l’univers est \(\{M,A,T,H,S\}\). L’élève a confondu l’ensemble de toutes les issues avec une sélection personnelle et a oublié \(T\) et \(S\). La seule voyelle est \(A\). Les lettres étant tirées avec la même chance, la probabilité d’obtenir une voyelle vaut \(\frac15=0{,}2=20\) %.
Calculer une probabilité dans une situation équiprobable
Lorsque toutes les issues élémentaires ont la même chance, la probabilité est le quotient du nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues.
Exercice 4 : Lancer une pièce puis un dé
Facile
On lance une pièce équilibrée et un dé équilibré à six faces. Un résultat est noté, par exemple, \((P;4)\).
- Combien y a-t-il d’issues possibles ?
- Calculer la probabilité d’obtenir pile et un nombre pair.
- Calculer la probabilité d’obtenir face ou pile avec le nombre \(6\).
Indication
Associez chacune des deux faces de la pièce aux six résultats du dé.
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Il y a \(2\times6=12\) issues équiprobables. « Pile et pair » correspond à \((P;2),(P;4),(P;6)\), soit \(\frac3{12}=\frac14\). Obtenir le nombre \(6\), quelle que soit la face de la pièce, correspond à \((P;6)\) et \((F;6)\), soit \(\frac2{12}=\frac16\). Le mot « et » impose ici les deux conditions, tandis que la seconde formulation accepte les deux faces.
Exercice 5 : Tirer une boule d’une urne
Moyen
Une urne contient \(5\) boules rouges, \(3\) bleues et \(2\) vertes, indiscernables au toucher.
- Calculer la probabilité de chaque couleur.
- Calculer la probabilité de ne pas obtenir rouge.
- Exprimer les résultats en fractions et en pourcentages.
Indication
Commencez par compter le nombre total de boules. L’événement contraire de rouge regroupe bleu et vert.
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L’urne contient \(5+3+2=10\) boules. Ainsi \(P(R)=\frac5{10}=\frac12=50\) %, \(P(B)=\frac3{10}=30\) % et \(P(V)=\frac2{10}=\frac15=20\) %. Ne pas obtenir rouge signifie obtenir bleu ou vert : la probabilité vaut \(\frac{3+2}{10}=\frac12=50\) %. On retrouve aussi le complément \(1-P(R)=1-\frac12=\frac12\).
Exercice 6 : Comparer deux jeux
Moyen
Jeu A : gagner en obtenant un multiple de \(3\) sur un dé à six faces. Jeu B : gagner en tirant une carte rouge parmi 10 cartes, dont \(4\) rouges.
- Calculer la probabilité de gagner au jeu A.
- Calculer celle du jeu B.
- Choisir le jeu le plus favorable et mesurer l’écart.
Indication
Sur le dé, listez les multiples de \(3\). Comparez ensuite les deux fractions avec un même dénominateur ou en décimal.
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Les multiples de \(3\) sur le dé sont \(3\) et \(6\), donc \(P(A)=\frac26=\frac13\approx0{,}333\). Pour B, \(P(B)=\frac4{10}=0{,}4\). Le jeu B est plus favorable. L’écart vaut \(0{,}4-\frac13=\frac{2}{5}-\frac13=\frac1{15}\), soit environ \(0{,}067\) ou \(6{,}7\) points de pourcentage. Comparer seulement les nombres d’issues favorables aurait été trompeur, car les nombres totaux d’issues diffèrent.
Exercice 7 : Utiliser un événement contraire
Moyen
Une boîte contient \(20\) jetons numérotés de \(1\) à \(20\). On en tire un au hasard.
- Calculer la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à \(4\).
- Recalculer cette probabilité en utilisant l’événement contraire.
- Calculer la probabilité d’obtenir un multiple de \(5\).
- Les deux événements peuvent-ils se produire ensemble ? Donner un exemple.
Indication
Le contraire de « supérieur à 4 » est « inférieur ou égal à 4 ».
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Les nombres de \(5\) à \(20\) sont au nombre de \(16\), donc la probabilité vaut \(\frac{16}{20}=\frac45\). Par le contraire, on obtient \(1-\frac4{20}=\frac{16}{20}\). Les multiples de \(5\) sont \(5,10,15,20\), donc leur probabilité vaut \(\frac4{20}=\frac15\). Les événements peuvent se produire ensemble : par exemple, \(10\) est supérieur à \(4\) et multiple de \(5\).
Relier fréquences observées et probabilités
Une fréquence expérimentale varie d’une série d’essais à l’autre. Lorsque le nombre d’essais augmente, elle tend souvent à se rapprocher de la probabilité théorique.
Exercice 8 : Interpréter cent lancers
Moyen
Une pièce équilibrée est lancée \(100\) fois. On observe \(57\) piles et \(43\) faces.
- Calculer les fréquences observées.
- Comparer ces fréquences aux probabilités théoriques.
- Le résultat prouve-t-il que la pièce est truquée ?
Indication
Une probabilité théorique de \(\frac12\) n’impose pas exactement cinquante occurrences dans chaque série de cent lancers.
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La fréquence de pile vaut \(\frac{57}{100}=0{,}57\), soit \(57\) %, et celle de face \(43\) %. Théoriquement, chaque face a une probabilité de \(0{,}5\). Les écarts de \(7\) points sont possibles dans une série aléatoire : la probabilité décrit une tendance, pas un résultat exact imposé. Cette seule expérience ne prouve donc pas que la pièce est truquée ; il faudrait beaucoup plus d’essais et une analyse adaptée.
Exercice 9 : Comparer deux simulations
Difficile
Deux groupes simulent un dé. Le groupe 1 obtient \(34\) six en \(180\) lancers. Le groupe 2 obtient \(152\) six en \(900\) lancers.
- Calculer les deux fréquences.
- Comparer chacune à la probabilité théorique \(\frac16\).
- Quel résultat paraît le plus stable ? Justifier.
- Calculer le nombre théorique de six attendu dans chaque série.
Indication
Convertissez \(\frac16\) en valeur décimale approchée et tenez compte du nombre d’essais.
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Groupe 1 : \(\frac{34}{180}\approx0{,}189\). Groupe 2 : \(\frac{152}{900}\approx0{,}169\). La probabilité théorique vaut \(\frac16\approx0{,}167\). La seconde fréquence est plus proche de la valeur théorique et repose sur cinq fois plus d’essais ; elle paraît donc plus stable. Le nombre théorique moyen de six est \(180\div6=30\) pour le groupe 1 et \(900\div6=150\) pour le groupe 2. Les observations s’en écartent de \(4\) et \(2\).
Exercice 10 : Concevoir une roue équitable
Difficile
On veut construire une roue à \(12\) secteurs égaux pour un jeu. Le joueur doit avoir \(50\) % de chances de gagner \(1\) point, \(\frac14\) de chances de gagner \(3\) points et le reste de ne rien gagner.
- Déterminer le nombre de secteurs de chaque catégorie.
- Calculer la probabilité de ne rien gagner.
- Calculer le gain moyen théorique par partie.
- Sur \(200\) parties, estimer le nombre de résultats de chaque catégorie.
- Expliquer pourquoi les nombres observés ne seront pas nécessairement exacts.
Indication
Transformez chaque probabilité en douzièmes. Pour le gain moyen, multipliez chaque gain par sa probabilité.
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\(50\) % de \(12\) donnent \(6\) secteurs à \(1\) point. \(\frac14\) de \(12\) donne \(3\) secteurs à \(3\) points. Il reste \(12-6-3=3\) secteurs sans gain, soit une probabilité \(\frac3{12}=\frac14\). Le gain moyen théorique est \(1\times\frac12+3\times\frac14+0\times\frac14=\frac12+\frac34=1{,}25\) point. Sur \(200\) parties, on prévoit environ \(100\) gains d’un point, \(50\) gains de trois points et \(50\) résultats nuls. Ce sont des effectifs moyens attendus : le hasard produit naturellement des écarts lors d’une série réelle.