Ces exercices corrigés de repérage dans le plan en 5ème font travailler le vocabulaire du repère, la lecture d’une abscisse et d’une ordonnée, le placement de points ainsi que l’exploitation de coordonnées. Avant de commencer, le cours sur le repérage dans le plan en 5ème permet de revoir l’origine, les axes et l’ordre conventionnel \((x\,;y)\).
La série alterne lectures directes, erreurs à diagnostiquer, construction d’une figure et recherche d’un sommet manquant. Les graduations ne valent pas toujours une unité : il faudra observer l’échelle avant de répondre. Elle s’intègre au parcours de mathématiques de 5ème sans répéter mécaniquement le même type de question.
Lire et placer des coordonnées dans un repère
On commence par fixer les réflexes essentiels : lire d’abord l’abscisse sur l’axe horizontal, puis l’ordonnée sur l’axe vertical.
Exercice 1 : Décoder le vocabulaire du repère
Facile
Dans un repère d’origine \(O\), l’axe horizontal est gradué de \(-4\) à \(5\) et l’axe vertical de \(-3\) à \(4\). Le point \(A\) a pour coordonnées \((3\,;-2)\).
- Donner l’abscisse et l’ordonnée de \(A\).
- Sur quel axe se lit chacune de ces deux valeurs ?
Indication
Dans un couple, la première valeur correspond au déplacement horizontal et la seconde au déplacement vertical.
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Le point \(A(3\,;-2)\) a pour abscisse \(3\) et pour ordonnée \(-2\). L’abscisse se lit sur l’axe horizontal ; l’ordonnée se lit sur l’axe vertical. Pour placer \(A\), on part de \(O\), on avance de trois unités vers la droite, puis on descend de deux unités. Le signe négatif ne concerne ici que le déplacement vertical.
Exercice 2 : Lire une graduation non unitaire
Facile
Sur chaque axe, deux graduations consécutives sont espacées de \(0{,}5\). Le point \(B\) se trouve trois graduations à gauche de l’origine et quatre graduations au-dessus de l’origine. Le point \(C\) est sur l’axe des abscisses, cinq graduations à droite de \(O\).
- Déterminer les coordonnées de \(B\).
- Déterminer les coordonnées de \(C\).
- Expliquer pourquoi compter seulement les traits conduirait à une réponse fausse.
Indication
Multipliez le nombre d’intervalles parcourus par la valeur d’une graduation et tenez compte du sens.
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Trois graduations représentent \(3\times0{,}5=1{,}5\). Vers la gauche, l’abscisse est négative. Quatre graduations vers le haut représentent \(4\times0{,}5=2\). Ainsi \(B(-1{,}5\,;2)\). Pour \(C\), l’abscisse vaut \(5\times0{,}5=2{,}5\) et l’ordonnée vaut \(0\), car le point est sur l’axe horizontal : \(C(2{,}5\,;0)\). Compter les traits sans lire l’échelle aurait donné \(-3\), \(4\) et \(5\), soit des valeurs deux fois trop grandes.
Exercice 3 : Placer six points sans inverser les axes
Facile
On considère les points \(D(-2\,;3)\), \(E(4\,;1)\), \(F(-1\,;-3)\), \(G(0\,;2)\), \(H(3\,;0)\) et \(I(2\,;-2)\) dans un repère d’unité \(1\).
- Indiquer dans quel quadrant se trouvent \(D\), \(E\), \(F\) et \(I\).
- Préciser sur quel axe se trouvent \(G\) et \(H\).
- Parmi ces points, lesquels ont une abscisse positive ?
- Décrire précisément le déplacement permettant de placer \(F\) depuis l’origine.
Indication
Regardez séparément le signe de l’abscisse et celui de l’ordonnée. Un zéro indique un point situé sur un axe.
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\(D(-2\,;3)\) est dans le quadrant en haut à gauche ; \(E(4\,;1)\) en haut à droite ; \(F(-1\,;-3)\) en bas à gauche et \(I(2\,;-2)\) en bas à droite. Comme son abscisse vaut \(0\), \(G\) appartient à l’axe des ordonnées. Comme son ordonnée vaut \(0\), \(H\) appartient à l’axe des abscisses. Les points d’abscisse strictement positive sont \(E\), \(H\) et \(I\). Pour placer \(F\), on se déplace d’une unité vers la gauche, puis de trois unités vers le bas.
Exploiter des coordonnées et repérer les erreurs
Les coordonnées servent aussi à comparer des positions, compléter une figure et vérifier qu’une lecture est cohérente.
Exercice 4 : Corriger une confusion entre abscisse et ordonnée
Moyen
Lina doit placer \(P(-3\,;2)\). Elle avance de deux unités vers la gauche, puis monte de trois unités et affirme avoir terminé.
- Quelles sont les coordonnées du point réellement placé par Lina ?
- Identifier précisément son erreur.
- Donner les déplacements corrects pour placer \(P\).
Indication
Traduisez les déplacements de Lina sous la forme d’un couple, dans l’ordre horizontal puis vertical.
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Deux unités vers la gauche donnent l’abscisse \(-2\), et trois unités vers le haut donnent l’ordonnée \(3\). Lina a donc placé \((-2\,;3)\). Elle a interverti les valeurs du couple : elle a utilisé \(2\) pour le déplacement horizontal et \(3\) pour le vertical. Pour construire \(P(-3\,;2)\), il faut partir de l’origine, aller de trois unités vers la gauche, puis monter de deux unités. Le signe de \(-3\) impose le sens horizontal.
Exercice 5 : Retrouver un sommet de rectangle
Moyen
Les points \(A(-2\,;1)\), \(B(4\,;1)\) et \(C(4\,;5)\) sont trois sommets consécutifs d’un rectangle \(ABCD\) dont les côtés sont parallèles aux axes.
- Déterminer les coordonnées de \(D\).
- Calculer les longueurs \(AB\) et \(BC\).
- En déduire le périmètre du rectangle.
- Vérifier que les côtés opposés ont les mêmes longueurs à partir des coordonnées.
Indication
Le quatrième sommet doit partager l’abscisse de \(A\) et l’ordonnée de \(C\).
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Le sommet recherché est \(D(-2\,;5)\). En effet, \(AD\) est vertical, donc \(D\) a l’abscisse \(-2\), et \(CD\) est horizontal, donc \(D\) a l’ordonnée \(5\). La longueur \(AB\) vaut \(4-(-2)=6\) unités et \(BC\) vaut \(5-1=4\) unités. Le périmètre est donc \(2\times(6+4)=20\) unités. Enfin, \(DC=4-(-2)=6\) et \(AD=5-1=4\) : les côtés opposés ont bien les mêmes longueurs.
Exercice 6 : Suivre un itinéraire cartésien
Moyen
Un robot part de \(R(-4\,;-1)\). Il avance horizontalement jusqu’à l’abscisse \(2\), monte de cinq unités, recule de trois unités vers la gauche, puis descend jusqu’à l’axe des abscisses.
- Écrire les coordonnées du robot après chaque étape.
- Donner ses coordonnées finales.
- Calculer la longueur totale du trajet.
Indication
Une étape horizontale ne change pas l’ordonnée ; une étape verticale ne change pas l’abscisse.
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Au départ, \(R=(-4\,;-1)\). Après le premier déplacement, le robot est en \((2\,;-1)\), soit une distance de \(2-(-4)=6\). Il monte ensuite en \((2\,;4)\), car \(-1+5=4\). Il recule en \((-1\,;4)\), puis descend sur l’axe des abscisses au point \((-1\,;0)\). La dernière descente mesure \(4\) unités. La longueur totale vaut \(6+5+3+4=18\) unités. Les coordonnées finales sont donc \((-1\,;0)\).
Construire et raisonner avec une figure repérée
Les derniers exercices combinent coordonnées, symétrie et organisation d’une figure afin de dépasser la simple lecture.
Exercice 7 : Compléter une figure par symétrie
Difficile
On considère \(M(-3\,;2)\), \(N(1\,;4)\) et \(Q(4\,;-1)\). Les points \(M’\), \(N’\) et \(Q’\) sont leurs symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
- Déterminer les coordonnées de \(M’\), \(N’\) et \(Q’\).
- Formuler la règle qui transforme les coordonnées.
- Quel point reste inchangé par cette symétrie : \(S(0\,;5)\), \(T(5\,;0)\) ou \(U(2\,;2)\) ? Justifier.
Indication
Une symétrie par rapport à l’axe vertical change le sens horizontal, mais conserve la hauteur.
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On conserve chaque ordonnée et on remplace l’abscisse par son opposé. Ainsi \(M'(3\,;2)\), \(N'(-1\,;4)\) et \(Q'(-4\,;-1)\). La règle est donc \((x\,;y)\mapsto(-x\,;y)\). Le point \(S(0\,;5)\) reste inchangé, car l’opposé de \(0\) est encore \(0\). Il appartient à l’axe des ordonnées, qui constitue l’axe de symétrie. \(T\) et \(U\) ont une abscisse non nulle et se déplacent.
Exercice 8 : Faire apparaître un losange
Difficile
On place \(A(0\,;4)\), \(B(3\,;0)\), \(C(0\,;-4)\) et \(D(-3\,;0)\), puis on relie les points dans cet ordre.
- Décrire la position des diagonales \([AC]\) et \([BD]\).
- Calculer leurs longueurs.
- Expliquer, sans utiliser une mesure faite sur un dessin, pourquoi \(O\) est le milieu des deux diagonales.
- Déduire la nature du quadrilatère à partir de ses symétries.
Indication
Repérez les points opposés et observez que leurs coordonnées sont opposées deux à deux.
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\([AC]\) est porté par l’axe des ordonnées et \([BD]\) par l’axe des abscisses ; les diagonales sont donc perpendiculaires. On calcule \(AC=4-(-4)=8\) et \(BD=3-(-3)=6\). Les coordonnées de \(A\) et \(C\) sont opposées, tout comme celles de \(B\) et \(D\), donc leur milieu commun est \(O(0\,;0)\). La figure est symétrique par rapport aux deux axes. Ses quatre côtés sont images les uns des autres et ont la même longueur : \(ABCD\) est un losange, mais pas un carré puisque ses diagonales n’ont pas la même longueur.
Exercice 9 : Retrouver une figure mystère
Difficile
On relie successivement les points \(A(-4\,;-2)\), \(B(-4\,;2)\), \(C(-1\,;5)\), \(D(2\,;2)\), \(E(2\,;-2)\), puis on revient à \(A\). Un sixième point \(F\) doit être ajouté sur l’axe vertical pour partager la figure en deux polygones de même hauteur.
- Identifier les segments horizontaux et verticaux de la figure.
- Proposer les coordonnées de \(F\) s’il doit être au même niveau que \(A\) et \(E\).
- Expliquer comment vérifier la réponse uniquement avec les coordonnées.
- Donner un autre point de l’axe vertical situé à l’intérieur de la figure.
- Résumer la méthode générale permettant de tester si un point appartient à un axe.
Indication
Un segment est horizontal lorsque ses extrémités ont la même ordonnée, et vertical lorsqu’elles ont la même abscisse.
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\([AB]\) et \([DE]\) sont verticaux, car leurs extrémités ont respectivement les abscisses \(-4\) et \(2\). \([EA]\) est horizontal puisque \(E\) et \(A\) ont l’ordonnée \(-2\). Le point \(F\) doit avoir une abscisse nulle pour appartenir à l’axe des ordonnées et l’ordonnée \(-2\) pour être au niveau de \(A\) et \(E\) : \(F(0\,;-2)\). On vérifie donc séparément \(x_F=0\) et \(y_F=-2\). Par exemple \(G(0\,;1)\) est aussi sur l’axe vertical et se situe à l’intérieur. En général, \(x=0\) caractérise l’axe des ordonnées, tandis que \(y=0\) caractérise l’axe des abscisses.