La proportionnalité en 5ème décrit deux grandeurs reliées par un même coefficient multiplicateur. Si le prix d’un fruit est fixé au kilogramme, doubler la masse double le prix ; mais doubler l’âge d’une personne ne double pas sa taille. Reconnaître la nature de la relation précède donc tout calcul.
Ce cours propose une démarche de décision : tester la proportionnalité, choisir entre coefficient, passage à l’unité ou propriété de linéarité, puis contrôler le résultat dans un tableau ou un graphique.
Reconnaître une relation multiplicative constante
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on obtient toutes les valeurs de la seconde en multipliant les valeurs correspondantes de la première par un même nombre \(k\). Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
Pour des pommes à \(2,40\,€\) le kilogramme, le prix \(P\) est donné par \(P=2,4\times m\), où \(m\) est la masse en kilogrammes. Le coefficient \(2,4\) possède ici une unité : euros par kilogramme.
Une addition constante ne définit pas une proportionnalité. La conversion \(F=1,8C+32\) entre degrés Celsius et Fahrenheit n’est pas proportionnelle, car une valeur \(32\) s’ajoute.
Tester un tableau avant de le compléter
Pour vérifier un tableau, on calcule plusieurs quotients « deuxième grandeur divisée par première grandeur ». Tous les quotients doivent être égaux, en excluant une colonne dont la première valeur serait nulle.
| Masse en kg | \(1,5\) | \(3\) | \(4,5\) |
|---|---|---|---|
| Prix en € | \(3,60\) | \(7,20\) | \(10,80\) |
Le même quotient \(2,4\) apparaît : le tableau est proportionnel. Vérifier une seule colonne ne suffirait pas, car n’importe quelle paire de valeurs non nulles fournit un quotient.
Erreur fréquente : une différence constante n’est pas un coefficient de proportionnalité. Les suites \(2,4,6\) et \(5,7,9\) progressent toutes deux de \(2\), mais les quotients ne sont pas constants.
Méthode 1 : utiliser directement le coefficient
Lorsque le coefficient est connu ou facile à calculer, on multiplie dans le sens direct et on divise dans le sens inverse. Pour \(7\) kg de pommes à \(2,40\,€\) par kilogramme :
Pour retrouver la masse correspondant à \(12\,€\), on effectue l’opération inverse : \(12\div2,4=5\) kg. Les flèches du tableau doivent indiquer le sens du coefficient afin de ne pas multiplier quand il faut diviser.
Méthode 2 : passer par l’unité
Le passage à l’unité est souvent le plus lisible dans un problème. Si \(6\) cahiers coûtent \(15\,€\), le prix d’un cahier vaut \(15\div6=2,50\,€\). Neuf cahiers coûtent alors \(9\times2,50=22,50\,€\).
Cette méthode expose le sens de chaque opération et conserve les unités. Elle est préférable au produit en croix lorsque la valeur unitaire est simple ou utile pour interpréter le résultat.
Méthode 3 : exploiter la linéarité
Propriétés additive et multiplicative
Dans une situation proportionnelle, la somme de deux valeurs de la première grandeur correspond à la somme des valeurs associées. Multiplier une valeur par un nombre multiplie sa valeur correspondante par le même nombre.
Si \(3\) billets coûtent \(21\,€\) et \(5\) billets coûtent \(35\,€\), alors \(8=3+5\) billets coûtent \(21+35=56\,€\). Si \(4\) objets pèsent \(1,2\) kg, \(12=3\times4\) objets pèsent \(3\times1,2=3,6\) kg.
Cette méthode évite parfois les divisions décimales et montre que le tableau possède une structure, pas seulement des cases à remplir.
Quatrième proportionnelle et produit en croix
Dans un tableau proportionnel, si trois valeurs \(a,b,c\) sont connues et si \(x\) est la quatrième, l’égalité des quotients permet d’écrire une égalité de produits.
Pour \(4\) mètres de tissu à \(18\,€\), \(7\) mètres coûtent \(x=\frac{18\times7}{4}=31,50\,€\). Il faut d’abord établir que le prix est proportionnel à la longueur ; le produit en croix ne prouve pas cette hypothèse.
Lire la proportionnalité sur un graphique
Caractérisation graphique
Les points représentant une situation proportionnelle sont alignés sur une droite qui passe par l’origine. Réciproquement, un ensemble de points alignés avec l’origine traduit une proportionnalité.
Le passage par l’origine exprime qu’à une quantité nulle correspond une valeur nulle. L’alignement traduit la constance du coefficient. Un seul point ne suffit donc pas ; plusieurs couples sont nécessaires pour reconnaître la droite.
Le calcul des quotients nécessaires pour vérifier une proportion réemploie les opérations avec les nombres décimaux en 6ème : une même précision doit être conservée dans toutes les lignes du tableau.
Situations pièges : savoir dire non
| Situation | Proportionnelle ? | Raison |
|---|---|---|
| Prix au kilogramme fixe | Oui | Même prix par kilogramme |
| Périmètre d’un carré selon son côté | Oui | \(P=4c\) |
| Aire d’un carré selon son côté | Non | \(\mathcal A=c^2\), coefficient non constant |
| Prix d’un taxi avec prise en charge | Non | Une somme fixe s’ajoute |
| Âge et taille d’une personne | Non | Le quotient varie |
Dire qu’une situation n’est pas proportionnelle est une réponse mathématique complète lorsqu’elle est justifiée. Le calcul n’a de sens qu’après ce diagnostic.
Les raisonnements de coefficient prolongent le cours de proportionnalité en 6ème, en ajoutant le test par quotient et la lecture graphique.
Comparer trois méthodes sur le même problème
Une imprimante produit \(84\) pages en \(6\) minutes à vitesse constante. Combien en produit-elle en \(15\) minutes ?
Coefficient. Le nombre de pages par minute vaut \(84\div6=14\), puis \(14\times15=210\).
Linéarité. \(15=2\times6+3\). On connaît \(12\) minutes : \(2\times84=168\), et \(3\) minutes représentent la moitié de \(6\), soit \(42\) pages. Total : \(210\).
Produit en croix. \(\frac{84}{6}=\frac{x}{15}\), donc \(x=\frac{84\times15}{6}=210\).
Les trois chemins sont cohérents parce que la vitesse est constante. Le coefficient est ici le plus lisible, tandis que la linéarité peut être avantageuse avec d’autres nombres.
Construire un contre-exemple à la proportionnalité
Un abonnement coûte \(8\) € par mois plus \(2\) € par film. Pour \(1\), \(2\) et \(4\) films, les prix sont \(10\), \(12\) et \(16\) €. Les quotients prix/nombre de films valent \(10\), \(6\) et \(4\) : ils ne sont pas constants.
Le graphique des points \((1;10)\), \((2;12)\), \((4;16)\) est aligné sur une droite, mais cette droite ne passe pas par l’origine. L’alignement seul ne suffit pas pour une proportionnalité.
Le terme fixe de \(8\) € explique l’échec : pour zéro film, le prix reste \(8\) €. Ce diagnostic évite d’appliquer un produit en croix à une situation qui ne possède pas de coefficient multiplicateur unique.
Proportionnalité 5ème : l’essentiel à retenir
La proportionnalité en 5ème commence par une question de structure : existe-t-il un coefficient unique ? Une fois la relation reconnue, coefficient, passage à l’unité, linéarité et produit en croix deviennent des outils entre lesquels on choisit selon les nombres.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 renforce également le passage entre tableau, formule et représentation graphique, essentiel pour les fonctions.