Les carrés, cubes et puissances en 5ème donnent une écriture courte à une multiplication répétée. \(5^2\) ne signifie pas \(5\times2\) : il signifie que le nombre \(5\) apparaît deux fois comme facteur. Cette différence de lecture est au cœur du chapitre.
Le carré se relie naturellement à une aire et le cube à un volume. Nous construirons ces images avant d’utiliser la notation générale, puis nous verrons comment calculer, comparer et intégrer une puissance dans une expression numérique.
Du produit répété à l’écriture en puissance
Puissance d’exposant entier positif
Pour un nombre \(a\) et un entier positif \(n\), l’écriture \(a^n\) désigne le produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(a\). Le nombre \(a\) est la base ; \(n\) est l’exposant.
L’exposant compte les facteurs ; il n’est pas un facteur supplémentaire. La lecture « trois puissance quatre » rappelle que \(4\) décrit le nombre de répétitions de \(3\).
Erreur fréquente : \(3^4\neq3\times4\). Le premier calcul vaut \(81\), tandis que le second vaut \(12\).
Pourquoi parle-t-on de carré et de cube ?
Un carré de côté \(a\) contient \(a\times a=a^2\) unités d’aire lorsque \(a\) est un entier. On lit \(a^2\) « \(a\) au carré ». Un cube de côté \(a\) contient \(a\times a\times a=a^3\) unités de volume ; on lit \(a^3\) « \(a\) au cube ».
Le sens géométrique explique aussi les unités : le carré d’une longueur en centimètres s’exprime en \(\text{cm}^2\), le cube d’une longueur en centimètres en \(\text{cm}^3\).
Calculer les carrés usuels
| Nombre \(n\) | \(n^2\) | Produit |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\times1\) |
| \(2\) | \(4\) | \(2\times2\) |
| \(3\) | \(9\) | \(3\times3\) |
| \(4\) | \(16\) | \(4\times4\) |
| \(5\) | \(25\) | \(5\times5\) |
| \(10\) | \(100\) | \(10\times10\) |
Connaître les carrés de \(1\) à \(10\) accélère les calculs et aide à reconnaître une aire. Cependant, il faut pouvoir reconstruire la valeur par multiplication plutôt que mémoriser sans sens.
Pour \(12^2\), on peut calculer \(12\times12=144\). Pour \(0,5^2\), on obtient \(0,5\times0,5=0,25\) : le carré d’un nombre entre \(0\) et \(1\) est plus petit que ce nombre.
Calculer et interpréter les cubes
Les premiers cubes sont \(1^3=1\), \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\) et \(5^3=125\). Ils apparaissent dans l’empilement de petits cubes et les conversions de volume.
Le résultat n’est pas \(7,5\) : l’exposant \(3\) indique trois facteurs, pas une multiplication par \(3\). Le contexte volumique fournit ici un contrôle d’unité.
Parenthèses et signe d’une base
Les parenthèses indiquent exactement ce qui est élevé à la puissance. Pour une base négative, elles sont indispensables afin d’éviter une lecture ambiguë.
Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ; un nombre impair en laisse un non apparié, donc un produit négatif. À ce niveau, cette observation sert à comprendre les carrés et cubes de bases simples.
L’écriture \(-3^2\) est normalement l’opposé de \(3^2\), donc \(-9\), car la puissance porte sur \(3\) avant le signe moins. Pour élever \(-3\) au carré, il faut écrire \((-3)^2\).
Puissances de dix et écriture des grands nombres
Puissance de dix
Pour un exposant entier positif \(n\), \(10^n\) s’écrit avec \(1\) suivi de \(n\) zéros.
| Puissance | Valeur | Lecture |
|---|---|---|
| \(10^1\) | \(10\) | dix |
| \(10^2\) | \(100\) | cent |
| \(10^3\) | \(1\,000\) | mille |
| \(10^6\) | \(1\,000\,000\) | un million |
Cette notation rend lisibles les ordres de grandeur. Dire qu’une distance vaut environ \(10^3\) mètres signifie qu’elle est de l’ordre du kilomètre. La notation scientifique complète sera étudiée plus tard ; ici, l’objectif est de comprendre la répétition des facteurs \(10\).
Insérer une puissance dans un calcul numérique
Une puissance se calcule avant les multiplications, divisions, additions et soustractions, sauf si une parenthèse impose d’abord un autre calcul.
Les règles générales sont celles du cours sur le calcul numérique et les priorités opératoires en 5ème. La puissance ajoute simplement un niveau prioritaire avant le produit.
Erreur fréquente : dans \((2+3)^2\), la parenthèse est calculée avant le carré : \(5^2=25\). Ce n’est pas \(2+3^2=11\).
Comparer des puissances simples par le sens
Avec une même base supérieure à \(1\), répéter davantage le facteur donne une valeur plus grande : \(2^4>2^3\). Avec le même exposant positif, comparer les bases positives suffit : \(7^2>5^2\).
Mais les comparaisons mixtes demandent un calcul : \(3^4=81\) et \(4^3=64\), donc \(3^4>4^3\) malgré la base plus petite. Une puissance ne se compare pas en regardant seulement l’exposant ou seulement la base.
Le lien entre \(a^2\), aire et conversions sera réinvesti dans les formules de périmètres et aires étudiées en 6ème.
Distinguer valeur, aire et volume dans un même exemple
Le nombre \(6\) peut jouer plusieurs rôles. \(6^2=36\) est un calcul sans unité. Si \(6\) cm est le côté d’un carré, \(36\,\text{cm}^2\) est une aire. Si \(6\) cm est le côté d’un cube, \(6^3=216\,\text{cm}^3\) est un volume.
| Donnée | Calcul | Résultat interprété |
|---|---|---|
| Nombre \(6\) | \(6^2\) | \(36\) |
| Carré de côté \(6\) cm | \(6^2\) | \(36\,\text{cm}^2\) |
| Cube de côté \(6\) cm | \(6^3\) | \(216\,\text{cm}^3\) |
L’exposant du nombre et l’exposant de l’unité n’ont pas exactement le même rôle typographique, mais ils racontent la même dimension : deux facteurs de longueur pour une aire, trois pour un volume.
Calcul mental de quelques carrés
Pour calculer \(15^2\), on peut utiliser \(15\times15=225\). Une autre méthode décompose \(15=10+5\) et prépare la distributivité : \((10+5)\times15=150+75=225\).
Le carré d’un nombre terminé par \(0\) se calcule en élevant la partie non nulle au carré puis en tenant compte des facteurs \(10\). Ainsi \(30^2=(3\times10)^2=9\times100=900\).
Ces deux résultats montrent que « ajouter deux zéros » n’est pas une règle universelle : elle dépend de la position de la virgule et de l’écriture du nombre comme produit.
Carrés, cubes et puissances 5ème : l’essentiel à retenir
Les carrés, cubes et puissances en 5ème condensent une multiplication répétée : la base est le facteur et l’exposant en compte les répétitions. Le carré décrit une aire, le cube un volume, et les parenthèses précisent si un signe appartient à la base.
Cette introduction, désormais explicitée par le programme officiel de mathématiques du cycle 4, prépare les puissances plus générales sans anticiper inutilement les règles des niveaux suivants.